Teorema de Green
Sea $$F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$$ una función diferenciable de dos variables en el plano, y sea $$D$$ una región del plano real. Sea $$C$$ la frontera de $$D$$.
Entonces:$$$\displaystyle \int_C f\cdot dL=\int_D(\frac{d}{dx}F_y-\frac{d}{dy}F_x) \ dxdy$$$
Teorema de Gauss
Sea $$V$$ un volumen cerrado en el espacio, y $$S$$ su frontera parametrizada (es decir, su "piel"), entonces, si $$F:V \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$ , es una función diferenciable en $$V$$, $$$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_V div(F)\cdot dxdydz$$$ Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superfícies, en integrales de volúmenes.
Procedimiento
- Calcular $$div (F)$$
- Encontrar la región de integración $$V$$ (un volumen, es decir, $$3$$ variables)
- Calcular la integral con $$3$$ variables.
Teorema de Stokes
Sea $$S$$ una superfície del espacio y $$C$$ su frontera (o límites), y sea $$F:S \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$ una función diferenciable en $$S$$, entonces $$$\displaystyle \int_C F \cdot dL=\int_S rot(F) \cdot dS$$$
Este teorema nos puede resolver problemas de integración cuando la curva en la que tenemos que integrar es complicada.
También nos dice que si $$F$$ tiene rotacional $$0$$ en $$S$$, entonces su integral a lo largo de la curva $$C$$ es cero.
Procedimiento
- Encontrar la región de integración $$S$$ parametrizada (una superficie, es decir, $$2$$ variables).
- Calcular $$rot (F)$$.
- Calcular la integral de $$2$$ variables del rotacional de $$F$$.