Potencias de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria $$i$$ se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria.

Así pues, se trabaja de la siguiente manera:

  • por convenio se establece que $$i^0=1$$, como pasa con cualquier otro número real.
  • para las cuatro primeras potencias se tiene:

    $$i^1=i$$

    $$i^2=i\cdot i= \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$$

    $$i^3=i^2\cdot i= (-1)\cdot i= -i$$

    $$i^4=i^3\cdot i= (-i)\cdot i= -(i^2) =-(-1)=1$$

    Donde cada una de las potencias se obtiene multiplicando la anterior por $$i$$.

  • las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriormente calculadas.Veamos como siguen:

    $$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i=i^1$$

    $$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2$$

    $$i^7=i^6\cdot i=i^2\cdot i=i^3$$

    $$i^8=i^7\cdot i=i^3\cdot i=i^4$$

Así pues, forman una sucesión periódica, pues los valores de las cuatro primeras potencias que son $$ \ i,\; -1,\; -i,\; 1 \ $$ se repiten indefinidamente. Esto es porque si se quiere la potencia enésima de la unidad imaginaria (es decir, se quiere calcular $$i^n$$), ésta coincide con la potencia de $$i$$ que tiene por exponente el resto de la división de $$n$$ entre $$4$$.

Es decir, $$ i^n=i^{4q+r} \ $$ donde $$n=4q+r$$ es la división euclídea común. Una vez tenemos esto, mediante las propiedades de las potencias podemos escribir: $$$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r= (i^4)^q\cdot i^r$$$ pero como hemos visto que $$i^4=1$$ entonces esto nos queda: $$$ i^n=(i^4)^q\cdot i^r=(1)^q \cdot i^r=i^r$$$

Así pues, basta que calculemos $$i^r$$ donde $$r$$ corresponde al resto de la división de $$n$$ entre $$4$$.

De manera que rápidamente se puede calcular $$i^n=i^r$$ qque siempre será una de las potencias anteriormente calculadas, dado que $$r$$ sólo puede ser $$0$$, $$1$$, $$2$$ o $$3$$.

Veamos algunos ejemplos:

$$i^{347}$$ parece una potencia muy difícil, pero si hacemos la división de $$347$$ entre $$4$$ obtenemos $$347=4\cdot 86+3$$ de manera que el resto es $$3$$. Por eso podemos escribir:

$$i^{347}=i^{4\cdot 86}\cdot i^3= i^3$$

Entonces miramos la tabla que hemos escrito anteriormente con las primero cuatro potencias de $$i$$ y observamos que $$i^3=-i$$. Por lo que nos quedará:

$$i^{347}=i^3=-i$$

¿Qué pasa en el caso de tener una potencia negativa?

Si queremos calcular $$i^{-n}$$ solo debemos escribirlo de la siguiente manera: $$i^{-n}= \dfrac{1}{i^n}$$. Entonces resolvemos el denominador como se ha explicado para potencias positivas de $$i$$ y luego se vuelve a escribir en el denominador.

Es decir, por ejemplo: $$$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}$$$

Por eso calcularemos primero $$i^{89}$$. Mediante el procedimiento anterior, si calculamos la división de $$89$$ entre $$4$$ obtenemos $$89=4\cdot 22+1$$, por lo que el resto es $$1$$. Así tenemos: $$$i^{89}=i^{4\cdot 22}\cdot i^1=i$$$

Una vez tenemos esto, reescribimos lo que estábamos buscando y obtenemos: $$$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}=\dfrac{1}{i}$$$

Si preferimos que la unidad imaginaria quede en el numerador, podemos hacer como siempre que queremos hacer desaparecerla del denominador, es decir multiplicar y dividir por su conjugado. Esto es: $$$\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-i}{i\cdot(-i)}= \dfrac{-i}{-i^2}= \dfrac{-i}{-(-1)}=-i $$$