Números complejos en forma exponencial

En el mundo de las matemáticas el número $e$ es ampliamente usado en la rama del Cálculo, y tiene un papel muy importante en el crecimiento exponencial y por lo tanto en procesos de la naturaleza y de la vida cotidiana.

Fue John Napier quien descubrió esta constante cuando inventó el logaritmo neperiano en 1614, pero fue Euler quien trabajó y desarrolló más posteriormente esta constante.

$$e$$ es un número irracional que empieza como sigue:

$$$e\approx 2,7182818284... $$$

En este tema vamos a utilizar la relación que existe entre el número $$e$$ y las funciones seno y coseno, conocida como la fórmula de Euler:

$$$e^{i\alpha}=cos(\alpha) + i \cdot sin(\alpha)$$$

donde $$\alpha$$ es el ángulo en radiantes, y $$i=\sqrt{-1}$$.

La demostración de esta fórmula se basa en las respectivas series de Taylor. Una curiosidad de la fórmula de Euler es que nos permite demostrar la identidad de Euler, considerada una de las expresiones más bellas de las matemáticas, por contener las constantes más relevantes de esta ciencia:

$$$e^{i\pi}+1=0$$$

Pues bien, la fórmula de Euler también nos permite representar los números complejos con una notación más corta, conocida como forma exponencial. De esta manera, si un número complejo está escrito en forma trigonométrica de la manera:

$$$z=|z| \cdot (cos(\alpha) + i \cdot sin(\alpha))$$$

podemos expresarlo como:

$$$z=|z| \cdot e^{i\alpha}$$$

Veamos ahora como operamos los números complejos expresados en forma exponencial. Sean $z$ y $w$ dos números complejos $z=|z| \cdot e^{i\alpha}$ y $w=|w| \cdot e^{i\beta}$, tenemos que:

  • El producto es $$z\cdot w= |z|\cdot |w| \cdot e^{i\cdot (\alpha+\beta)}$$
  • El cociente es $$\frac{z}{w}= \frac{|z|}{|w|}\cdot e^{i\cdot (\alpha-\beta)}$$
  • La potencia n-ésima ($n>0$) es $$z^n = |z|^n \cdot e^{in\alpha}$$
  • Un número complejo tiene siempre $n$ raíces n-ésimas distintas, y las podemos obtener de la siguiente manera:

$$$\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{|z|} \cdot e^{\frac{i\cdot(\alpha+2k\pi)}{n}}$$$

donde: $$k=0,1,2,..., n-1.$$

Dados los números complejos $$z=5 \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}$$ y $$w=3 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$, calcula:

  • $$z\cdot w= 15\cdot e^{i\cdot\frac{5\pi}{12}}$$
  • $$\frac{z}{w}= \frac{5}{3}\cdot e^{i\cdot\frac{\pi}{12}}$$
  • $$z^{33} = 5^{33} \cdot e^{i\cdot\frac{33\pi}{4}}$$
  • $$\sqrt[3]{z}= \sqrt[3]{5} \cdot e^{\frac{i\cdot(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}{3}}$$ donde $$k=0,1,2$$, es decir, las tres soluciones son $$\sqrt[3]{5} \cdot e^{\frac{i\cdot\pi}{12}}$$, $$\sqrt[3]{5} \cdot e^{\frac{i\cdot(\frac{\pi}{4}+2\pi)}{3}}$$ y $$\sqrt[3]{5} \cdot e^{\frac{i\cdot(\frac{\pi}{4}+4\pi)}{3}}$$

Este tema ha sido elaborado en colaboración con Miguel Molina, estudiante de Matemáticas