Perpendicularidad entre recta y plano

Una recta y un plano serán perpendiculares cuando el vector director de la recta sea paralelo al vector normal del plano. Como sabemos que dos vectores son paralelos si y sólo si son linealmente dependientes, sólo deberemos comprobar si sus componentes son proporcionales.

Una recta $$r$$ con vector director $$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$$ y un plano $$\pi$$ con vector normal $$\vec{n}=(A,B,C)$$ son perpendiculares si y sólo si $$\vec{v}$$ y $$\vec{n}$$ son linealmente dependientes.

$$$r \ \text{ perpendicular a } \ \pi \Leftrightarrow \ \dfrac{v_1}{A}=\dfrac{v_2}{B}=\dfrac{v_3}{C}$$$

La recta $$r: (x, y, z) = (2, 0, -3) + k\cdot(-1, 3, 5)$$ y el plano $$\pi: x - 3y - 5z + 2 = 0$$ son perpendiculares ya que el vector director $$\vec{v} = (-1, 3, 5)$$ y el vector normal $$\vec{n} = (1, -3, -5)$$ verifican: $$$ \dfrac{-1}{1}=\dfrac{3}{-3}=\dfrac{5}{-5}$$$