Matriz inversa por determinantes

Existe un método alternativo para el cálculo de la matriz inversa al método de Gauss. Éste es mucho menos intuitivo, y puede ser mucho más largo pero de todas formas siempre puede recurrirse a él por ser más directo.

Recordemos que dada una matriz $$A$$, su inversa $$A^{-1}$$ es tal que cumple lo siguiente:

$$$A\cdot A^{-1}=I$$$

donde $$I$$ es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto 1'os en la diagonal principal.

La matriz inversa puede calcularse como sigue:

$$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(Adj(A))^t$$$

La notación es:

$$A^{-1} \rightarrow$$ Matriz inversa

$$|A| \rightarrow$$ Determinante

$$Adj(A) \rightarrow$$ Matriz adjunta

$$A^t \rightarrow$$ Matriz traspuesta

¿Cual es la matriz inversa de la siguiente matriz?

$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$

1) Calcúlese el determinante:

$$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|=-1$$$

2) Calcúlese la matriz adjunta

$$$Adj(A)=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$

3) Trasponemos la matriz adjunta

$$$(Adj(A))^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$

que casualmente no varia.

4) Se calcula la matriz inversa

$$$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$