Matriz inversa: Método de Gauss

El cálculo de la matriz inversa es una herramienta indispensable del álgebra lineal.

Dada una matriz $$A$$, su inversa $$A^{-1}$$ es tal que cumple lo siguiente:

$$$A\cdot A^{-1}=I$$$

donde $$I$$ es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto $$1$$ en la diagonal principal.

Sea la matriz:

$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$

Como se encuentra la matriz inversa según el método de Gauss?

1) Se añade la matriz identidad a la matriz $$A$$.

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$

(Véase $$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$)

2) Mediante el método de Gauss se pretende pasar la matriz identidad a la izquierda. Lo que quede en el lado derecho será la matriz inversa. Es decir, se quiere conseguir

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 1 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$$

Lo que resulte en los espacios vacíos será la matriz inversa $$A^{-1}$$.

¿Cual es la matriz inversa de la siguiente matriz?

$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$

Se debe seguir el procedimiento paso a paso.

1) En primer lugar se añade la matriz identidad a la derecha de la matriz originaria:

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$

2) Se tiene que "transportar" la matriz identidad a la izquierda mediante el método de Gauss.

Este método requiere cierta intuición, pues no es una receta exacta. De todas formas la intuición puede suplirse con la práctica y el método de Gauss acaba resultando mucho más cómodo de lo que parece en un principio.

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila1)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila3+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila3)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila1+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$

Finalmente se multiplica la $$fila2$$ por $$(-1)$$ y ya tenemos la identidad a la izquierda.

$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow ((-1)\cdot fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$

Y se identifica:

$$$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$

Comprobación:

Se recomienda hacer la comprobación después del cálculo, pues los errores suelen ser frecuentes. Para tal efecto se utiliza la propia definición de matriz inversa:

$$$A\cdot A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$

Efectivamente se demuestra:

$$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$