Dada una función $$f(x)$$ diremos que tiene límite $$L$$ en un punto $$p$$ si $$f(x)$$ toma valores tan próximos de $$L$$ como queramos, tomando puntos suficientemente cercanos a $$p$$ pero distintos de $$p$$. Este concepto se denota como:
$$$\lim_{x \to p}{f(x)}=L$$$
Tomemos la función $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$$. Si buscamos el límite de la función en el punto por ejemplo $$x=5$$, pondremos:
$$$\lim_{x \to 5}{f(x)}=\lim_{x \to 5}{\dfrac{x^2-1}{x}}=\dfrac{5^2-1}{5}=\dfrac{24}{5}$$$
En este caso, la función $$f(x)$$ coincide con su límite en el punto $$x=5$$.
Puede parecer que la función siempre coincida con su límite en cualquier punto, pero no es así. En el siguiente ejemplo vemos un caso en el que la función no coincide con su límite:
$$$f(x)=\left\{\begin{array}{c} 1 \ \text{ si } x\neq0 \\ 3 \ \text{ si } x=0 \end{array} \right.$$$
En este caso vemos que $$f(0)=3$$, pero:
$$$\lim_{x \to 0}{f(x)}=\lim_{x \to 0}{1}=1$$$
Esto significa que la función tan cerca de $$x=0$$ como queramos vale $$1$$ y por consiguiente su límite vale $$1$$ y no obstante, la función en el $$0$$ vale $$3$$.
Este ejemplo es un claro ejemplo de función discontinua. Las funciones discontinuas se detectan fácilmente ya que en los puntos de discontinuidad los límites en esos puntos y la función no coinciden.
Por lo tanto, recapacitemos: hacer el límite de una función $$f(x)$$ en un punto $$p$$ significa ver cuánto vale la función $$f(x)$$ cuando nos situamos muy cerca de $$x=p$$, pero no exactamente sobre de $$p$$.