La media
Se puede interpretar la media como el centro de gravedad de la función probabilidad. La media tenderá a encontrarse más cerca de los resultados más probables del experimento aleatorio.
La expresión general de la media será: $$$ \mu = x_1 \cdot p_1 +x_2 \cdot p_2+x_3 \cdot p_3+ \ldots + x_n \cdot p_n=\sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i$$$
La media del resultado de un dado es $$x_i = i$$ es decir, $$$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$$ y $$\displaystyle p=\frac{1}{6}$$, con lo que: $$$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$$
La varianza
La varianza da una idea de la variación de los resultados respecto al valor medio. La expresión general de la varianza es: $$$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2$$$
Calcular la varianza de la variable del resultado de tirar un dado.
Se calcula primero la media del resultado del dado: $$$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$$
Y luego, con $$x_i=i$$ $$$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$$ y $$\displaystyle p=\frac{1}{6}$$. Se calcula $$$\sigma^2= \frac{1}{6} \cdot 1^2+\frac{1}{6} \cdot 2^2+\frac{1}{6} \cdot 3^2\frac{1}{6} \cdot 4^2+\frac{1}{6} \cdot 5^2+\frac{1}{6} \cdot 6^2-3.5^2=$$$ $$$=\frac{1}{6} \cdot 91 -12.25=2.91$$$
La desviación típica
La desviación típica o estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y tiene la siguiente expresión: $$$\sigma= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2}$$$
En el ejemplo anterior, $$\sigma = \sqrt{2.91}=1.7$$