La función distribución

La función distribución de una variable aleatoria $$X$$ es una función que proporciona, en cada punto, la probabilidad acumulada hasta dicho valor. Es decir: $$$F(X)=p(X \leq x)$$$

Por ejemplo, se estudia la función distribución de la variable aleatoria $$X$$, resultado de tirar un dado perfecto.

La siguiente tabla muestra los valores de $$F (x)$$:

x F (x)
$$x < 1$$ $$0$$
$$1\leq x < 2$$ $$\displaystyle \frac{1}{6}$$
$$2\leq x < 3$$ $$\displaystyle \frac{2}{6}$$
$$3\leq x < 4$$ $$\displaystyle \frac{3}{6}$$
$$4\leq x < 5$$ $$\displaystyle \frac{4}{6}$$
$$5\leq x < 6$$ $$\displaystyle \frac{5}{6}$$
$$x \leq 6$$ $$1$$

El valor de la función distribución en $$-\infty$$ siempre será $$0$$, mientras que el valor en $$+\infty$$ siempre será $$1$$.

Esto resulta lógico, ya que la probabilidad de que el valor de $$x$$ sea más pequeño que $$-\infty$$ es nula, y la probabilidad de que tenga un valor menor que $$+\infty$$ es $$1$$ (ya que siempre es menor o igual a $$+\infty$$).

imagen

Al tratarse de una variable aleatoria discreta, la función distribución tendrá tramos planos. La probabilidad de que el resultado del dado sea inferior a $$5,2$$ es la misma a la de que sea inferior a $$5,3$$ o $$5,9$$.