Intervalos

Intervalos acotados

Llamaremos intervalo al conjunto de números comprendido entre dos límites dados.

Si $$a$$ y $$b$$ son dos números reales tales que $$a\leq b$$, el intervalo de extremos $$a$$ y $$b$$ es el segmento $$\overline{ab}$$, o también el conjunto de números comprendido entre $$a$$ y $$b$$.

Si consideramos que los extremos $$a$$ y $$b$$ pertenecen al intervalo, diremos que es un intervalo cerrado y lo denotaremos por $$[a,b]$$.

Si $$x$$ es un número real que pertenece a $$[a,b]$$, el punto que representa sobre la recta queda a la derecha de $$a$$ y a la izquierda de $$b$$; esto significa que $$a < x < b$$, y como que $$a$$ y $$b$$ también son del intervalo, puede ser que $$x=a$$ o $$x=b$$, con lo que un número real $$x$$ pertenece al intervalo cerrado $$[a,b]$$ si $$a \leq x \leq b$$. Esta definición algebraica la escribiremos así: $$$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$$

Si los extremos no pertenecen al intervalo, lo llamamos intervalo abierto y lo denotaremos por $$(a,b)$$. Si $$x$$ es un número real que pertenece a $$(a,b)$$, es necesariamente $$a < x < b$$, y lo escribimos en lenguage algebraico como: $$$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$$$

Si solamente uno de los extremos pertenece al intervalo decimos que es un intervalo semiabierto y lo denotaremos por $$(a,b]$$ o bien $$[a,b)$$, dependiendo de que extremo pertenezca al intervalo:

$$$(a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$$$ $$$[a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$$$

En cualquier tipo de intervalo, $$a$$ es el extremo inferior, y $$b$$ el extremo superior. Y $$|b-a|$$ es la longitud del intervalo.

Llamaremos centro del intervalo a un punto $$c$$ que se encuentra a misma distancia de $$a$$ que de $$b$$. A la distancia entre el centro del intervalo y los extremos se denomina radio.

El centro de un intervalo de extremos $$a$$ y $$b$$ es el punto $$\dfrac{a+b}{2}$$; en efecto:

$$$d\Big(a,\dfrac{a+b}{2}\Big)=\Big|\dfrac{a+b}{2}-a\Big|=\Big|\dfrac{a+b-2a}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$$

$$$d\Big(\dfrac{a+b}{2},b\Big)=\Big|b-\dfrac{a+b}{2}\Big|=\Big|\dfrac{2b-a-b}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$$

Por otra parte, los puntos de un intervalo de extremos $$a$$ y $$b$$ se pueden definir en términos de la distancia al centro del intervalo.

Si $$x\in [a,b]$$, la distancia de $$x$$ al centro es menos o igual al radio del intervalo, y como que $$d(x,C)=|C-x|$$, tenemos que: $$$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x|\leq r \}$$$ donde $$r$$ representa el radio del intervalo $$(r=d(a,b))$$, y análogamente para intervalos abiertos: $$$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x| < r \}$$$

Para determinar los extremos de un intervalo dados el centro y el radio, aplicamos las propiedades del valor absoluto:

$$$|C-x| < r \Rightarrow |x-C| < r \Rightarrow$$$ $$$-r < x-C < r \Rightarrow -r+C < x < r+C$$$

Por lo que los extremos de un intervalo de centro $$C$$ y radio $$r$$ son $$C-r$$ y $$C+r$$.

La longitud de un intervalo es igual a la distancia entre sus dos extremos: $$$long([a,b])=d(a,b)$$$ Y al depender de los extremos, la longitud es la misma si el intervalo es abierto o cerrado: $$$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$$

Observemos que la longitud de un intervalo depende de la distancia utilizada al calcularla, así que, siguiendo con la notación anterior, si se utiliza una distancia p-ádica para calcular la longitud de un intervalo, lo denotaremos por: $$$long_p((a,b))=d_p(a,b)$$$

Intervalos no acotados

Si consideramos un intervalo que no tenga extremo inferior o bien, extremo superior, obtenemos un conjunto de la forma: $$$\{x\in \mathbb{R} \ | \ x \leq b\}, \ \mbox{o} \ \{x\in \mathbb{R} \ | \ a \leq x\} $$$

Gráficamente, estos conjuntos se representa como todos aquellos que se encuentran a la izquierda de $$b$$, o a la derecha de $$a$$, respectivamente.

A estos conjuntos los llamamos intervalos no acotados y para denotarlos utilizamos el símbolo infinito $$\infty$$ como extremo. Aunque $$\infty$$ no es un número, utilizaremos $$-\infty$$ para denotar que es menor que cualquier número y $$+\infty$$ para denotar que es mayor que cualquier número, de tal forma que un intervalo no acotado inferiormente se denota por:

$$(-\infty,a)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x < a\}$$

si es abierto, y si es cerrado:

$$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x \leq a\}$$

Si el intervalo no tiene extremo superior, lo llamamos no acotado superiormente, y se escribe:

$$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a < x\}$$

si es abierto, y

$$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a \leq x\}$$

si es cerrado.