Interpolación inversa

Supongamos conocidos $$(x_k,f_k)$$ los datos correspondientes a una función $$f(x)$$ y queremos encontrar una aproximación del valor de $$x$$ tal que $$f(x)=c$$, donde $$c$$ es un valor dado.

Lo que haremos es resolver la ecuación $$x=g(c)$$ donde $$g$$ es la función inversa de $$f$$. Entonces interpolaremos esta función $$g(y)$$ y la evaluaremos en $$y=c$$, es decir, si seguimos el método de Newton pondremos en la primera fila los valores $$f_j$$ y en la segunda los valores $$x_j$$ y procedemos de la misma manera.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular un cero de la función $$f(x)=x^3-15x+4$$ sabiendo que éste está cerca de $$x=0.3$$. Entonces haremos interpolación cuadrática, por ejemplo, de la inversa de $$f(x)$$. Primero, pues, evaluamos la función en tres puntos cerca de $$x=0.3$$:

$$x$$ $$0.2$$ $$0.3$$ $$0.4$$
$$f(x)$$ $$1.008$$ $$-0.473$$ $$-1.936$$

Ahora escribimos la tabla para calcular las diferencias divididas de Newton, pero intercambiando las columnas, obteniendo los coeficientes del polinomio interpolador:

$$1.008$$ $$0.2$$    
    $$-0.0675$$  
$$-0.473$$ $$0.3$$   $$0.00028963$$
    $$-0.0684$$  
$$-1.936$$ $$0.4$$    

De esta forma el polinomio interpolación es:

$$$\begin{array}{rl} P_3(y)=&0.2+0.0675\cdot(y-1.008)+0.00028963\cdot(y-1.008)(y-0.473) \\ =&0.2679019090-0.067654y+0.00028963y^2 \end{array}$$$

Así una aproximación del cero de la función es:

$$$P_3(0)=0.2679019090$$$