Expresar tiempo en horas, minutos y segundos
Observemos ahora un reloj
Como se puede apreciar es una circunferencia. Las dos agujas que nos marcan las horas ( el minutero y la de la hora) están constantemente formando ángulos, dado que tienen un punto en común, que además coincide con el centro de la circunferencia.
Dada una circunferencia podemos escoger que una vuelta entera sea llamada $$360^\circ$$ o $$2\pi$$ radianes. En este caso, tomaremos como medida los grados. Así pues, una vuelta entera son $$360^\circ$$. Pero que a la vez corresponde a una hora de reloj. Así pues, una vuelta entera que eran $$360^\circ$$, también puede ser entendida como una hora del reloj.
Una vez establecida esta medida del tiempo, veamos cómo se trabaja con ella. Para expresar cantidades de tiempo que no corresponden a un número exacto de horas se utilizan como submúltiplos la sesentava parte de una hora, que se llama minuto y se escribe con $$'$$, y la sesentava parte de un minuto, que se llama segundo y se escribe $$''$$. Esto significa que $$1h=60'$$ y $$1'=60''$$.
Es decir: $$$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minutos} = 60'$$$
$$$1 \ \mbox{minuto} = 60 \ \mbox{segundos} = 60''$$$
Si queremos pues, expresar una hora en segundos es preciso hacer factores de conversión, esto es escribirse los cambios como
$$$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minutos}= 60 \ \mbox{minutos} \cdot \frac{60 \ \mbox{segundos}} {1 \ \mbox{minuto}}=$$$ $$$= 60 \cdot 60 \ \mbox{segundos}= 3600 \ \mbox{segundos}$$$
Expresemos diversos valores en minutos y segundos:
$$4$$ horas en minutos es: $$$ 4 \ \mbox{horas}=4 \ \mbox{horas}\cdot \frac{60 \ \mbox{minutos}}{1 \ \mbox{hora}}= 4 \cdot 60 \ \mbox{minutos} = 240 \ \mbox{minutos}$$$
Media hora en segundos: $$$ \frac{1}{2} \ \mbox{hora}=\frac{1}{2} \ \mbox{hora}\cdot \frac{60 \ \mbox{minutos}}{1 \ \mbox{hora}} \frac{60 \ \mbox{segundos}}{1 \ \mbox{minuto}}= $$$ $$$=\frac{60 \cdot 60}{2} \ \mbox{segundos}= 1800 \ \mbox{segundos}$$$
Cuando tenemos un minuto y medio por ejemplo, escribiremos $$1$$ minuto y la mitad de este que son $$30$$ segundos, es decir: $$1 ' 30 ''$$.
Si queremos escribir $$7$$ horas y media pues, escribiremos $$7$$ y la media hora en minutos. Dado que una hora son $$60$$ minutos la mitad de una hora serán la mitad de $$60$$ minutos que son $$30$$.
Así, siete horas y media son $$7h 30'$$.
También podemos hacer el proceso inverso, es decir, dados un número de segundos determinar qué número de minutos y/o horas son.
Por ejemplo, ¿cuántos minutos son $$1020$$ segundos?
$$$ 1020 \ \mbox{segundos}= 1020 \ \mbox{segundos} \cdot \frac{1 \ \mbox{minuto}}{60 \ \mbox{segundos}}=\frac{1020}{60} \ \mbox{minutos}= 17 \ \mbox{minutos}$$$
Veamos qué hacer en el caso que no nos dé un resultado exacto.
Supongamos que tenemos $$68$$ segundos.
A partir de ahora utilizaremos la notación estándar de minutos $$'$$ y segundos $$''$$ para agilizar la escritura y también acostumbrarnos a ella.
Usando factores de conversión nos da
$$$ 68''=68'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{68'}{60}=1,13333'$$$
Pero expresar $$68''$$ como un número decimal de minutos no es demasiado útil. Lo que queremos hacer es expresarlo mejor por ejemplo como $$68'' = 60'' + 8'' = 1 ' 8 ''$$ que son un minuto y ocho segundos.
Para poder expresarlo así, se debe tomar la parte entera del resultado, multiplicarla por $$60$$ y restarla a la cantidad original.
Esto es:
En el caso anterior el resultado era $$1,13333$$, cogemos la parte entera que es $$1$$.
La multiplicamos por $$60$$ y nos da $$60$$.
Ahora restamos este $$60$$ a la cantidad original que era $$68$$.
Nos da $$8$$.
Por lo tanto tenemos $$1 ' 8 ''$$.
Expresaremos el resultado como la parte entera más el resto.
Supongamos que tenemos $$24355$$ segundos. Expresémoslo en horas, minutos y segundos:
Primero lo pasamos a minutos
$$$ 24355'' = 24355'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{24355'}{60}=405.9166'$$$
Por lo tanto, cogemos la parte entera de dicha división: es $$405$$ y lo multiplicamos por $$60$$: $$$ 405\cdot 60= 24300$$$
Ahora, a la cantidad original le restamos este número, obteniendo $$$24355-24300=55 $$$
Así pues, tenemos que $$24355'' = 405 ' 55''$$
Ahora debemos expresar los $$405'$$ en horas:
Mediante el factor de conversión: $$$405'=405' \cdot \frac{1h}{60'}=\frac{405'}{60}=6,75h$$$
Volvemos a hacer el proceso. Cogemos la parte entera que es $$6$$. La multiplicamos por $$60$$ y obtenemos $$6 \cdot 60=360$$. A la cantidad original le restamos esta: $$405 '-360 ' =45$$' Así pues, $$405 ' =6h 45'$$ Por lo tanto $$24355'' = 6h 45 ' 55''$$
Una vez sabemos expresar las cantidades en horas, minutos y segundos, aprenderemos a hacer operaciones entre ellas.
Operaciones con tiempo en horas, minutos y segundos
Sumar
Primero es conveniente que ordenemos, segundos con segundos, minutos con minutos, horas con horas...
Cómo sabemos cada minuto tiene $$60$$ segundos, entonces al sumar segundos tendremos:
$$$15 \ \mbox{segundos} + 10 \ \mbox{segundos}= 25 \ \mbox{segundos}$$$ $$$30 \ \mbox{segundos} + 15 \ \mbox{segundos}= 45 \ \mbox{segundos}$$$
Pero
$$$30 \ \mbox{segundos}+ 45 \ \mbox{segundos}= 75 \ \mbox{segundos}$$$
En este caso, nosotros sabemos que $$60 \ \mbox{segundos}= 1 \ \mbox{minuto}$$, si aplicamos eso a nuestro ejemplo anterior tenemos:
$$$75 \ \mbox{segundos}= 60 \ \mbox{segundos}+ 15 \ \mbox{segundos}$$$
que es igual a $$75 \ \mbox{segundos}= 1 \ \mbox{minuto}$$ y $$15 \ \mbox{segundos}$$
Ahora si el número es muy alto, por ejemplo $$1200$$ segundos, lo mejor es dividir ese número por $$60$$ para obtener los minutos que representan. Es decir
$$$\frac{1200}{60}={20}$$$
es decir $$1200 \ \mbox{segundos}= 20 \ \mbox{minutos}$$.
De igual forma para la relación minutos horas. Cada hora consta de $$60$$ minutos.
Si tienes $$45 \ \mbox{minutos} + 25 \ \mbox{minutos}= 70 \ \mbox{minutos}$$, es lo miso que
$$$70 \ \mbox{minutos}= 60 \ \mbox{minutos}+ 10 \ \mbox{minutos}= 1 \ \mbox{hora y} \ 10 \ \mbox{minutos}$$$
En caso de tener resultados con decimales, veamos un ejemplo:
$$750$$ segundos, ¿cuántos minutos son?
Bueno tomemos $$750$$ y dividámoslos por $$60$$ $$$\frac{750}{60}=12,5$$$
$$$750 = 12 \ \mbox{minutos} + 0,5 \ \mbox{minutos}$$$
Ahora, la forma más fácil de sacar los segundos que representan esos $$0,5$$ es multiplicándolo por $$60$$ ($$0,5$$ está en minutos y para representarlo en forma correcta necesitamos obtenerlo en segundos):
$$0,5 \cdot 60 = 30$$ segundos. Este procedimiento es el que hemos explicado antes.
Finalmente tenemos que:
$$750$$ segundos $$= 12$$ minutos y $$30$$ segundos.
$$$\begin{array}{ccccc} \alpha & = & 74h & 16' & 54'' \\ \beta & = & 28h & 45' & 13'' \end{array}$$$ $$$ \alpha + \beta = (74h \ 16' \ 54'')+(28h \ 45' \ 13'')=102h \ 61' \ 67''$$$
Así, nos damos cuenta que lo que se debe hacer una vez sumadas las cantidades es revisar que si los segundos sobrepasan $$60$$ los debemos expresar en minutos y sumarlos a los que ya tenemos. Y lo mismo con los minutos, que si sobrepasan de 60 también deberemos pasarlos a horas.
En el caso anterior tenemos $$67 ''$$ que son $$1 ' 7 ''$$. Por lo tanto reescribimos el resultado sumándole un minuto y dejando $$7$$ segundos. $$$103h \ 62' \ 7''$$$
Pero como tenemos más de $$60$$ minutos, escribimos una hora más y dejamos $$2$$ minutos (ya que tenemos $$62 '$$). Por lo tanto: $$103 h \ 2' \ 7''$$ es la suma de esas dos cantidades.
A consecuencia de esto, ya sabemos sumar expresiones que vengan en horas, minutos y segundos. Solo se deben sumar las cantidades respectivamente (horas con horas, minutos con minutos y segundos con segundos) y luego escribir el resultado asegurándonos que en los segundos siempre hay un número menor que $$60$$ y en los minutos también hay un número menor que $$60$$.
Restar
¿Qué pasará con la resta?
Procederemos de la misma manera, restaremos la cifra de cada unidad con la de cada unidad.
El único problema que puede aparecer es:
- Si la cantidad de segundos a restar es mayor que la cantidad original de segundos, lo que debemos hacer es:
- Restar un minuto a la cantidad original de minutos.
- Aumentar la cantidad original de segundos en $$60$$.
- Entonces procederemos a restar cada una de las cantidades.
$$$4' 11'' -2' 47''$$$ Dado que $$11$$ es menor que $$47$$, restamos un minuto a $$4$$ y añadimos $$60$$ segundos a $$11$$.La resta quedará: $$$3' 71''-2' 47''=1' 24''$$$
Veamos una resta que incluya horas también:
$$$4h \ 23' \ 11'' - 2h \ 47' \ 27''$$$
En este caso $$27$$ es mayor que $$11$$ por lo que restamos un minuto a $$23$$ que teníamos y le sumamos $$60$$ segundos a $$11$$ que teníamos. La resta ahora es: $$$4h \ 22' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27''$$$
Pero ahora, nos damos cuenta que en los minutos vuelve a pasar lo mismo, que $$47$$ es mayor que $$22$$ minutos del original, por lo que le restamos $$1$$ hora al original y le sumamos $$60$$ minutos. La resta ahora es:
$$$3h \ 82' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27'' = 1h \ 35' \ 44''$$$
Multiplicar
Aprendamos a multiplicar números expresados en horas minutos y segundos por un número natural.
El procedimiento será multiplicar cada uno de los factores (los segundos, los minutos y las horas) por dicho número natural y luego reescribir el resultado de forma correcta, es decir con las cifras de segundos y minutos menores de $$60$$.
$$$\frac{\begin{array}{ccc} 3h & 12' & 45'' \\ & \times{} & 3 \end{array}}{\begin{array}{ccc} 9h & 36' & 135''\end{array}}$$$
Por lo tanto pasamos los $$135 ''$$ a minutos: $$\dfrac{135}{60}=2,25$$ cogemos la parte entera y multiplicada por $$60$$ la restamos al $$135$$, es decir:
$$$135-2 \cdot 60 = 135-120=15$$$
Así, debemos sumar $$2$$ minutos a los $$36$$ que ya teníamos y dejar $$15''$$.
Por lo tanto el resultado es: $$9h \ 38' \ 15''$$.
Dividir
En este apartado aprenderemos a dividir números expresados en horas, minutos y segundos por un número natural.
Para dividir un tiempo por un número natural:
- Se dividen las horas entre dicho número y el resto se multiplica por $$60$$ para pasarlo a minutos. Éstos se suman a los minutos del dividendo.
- Se dividen los minutos entre el número y el resto se multiplica por $$60$$ para pasarlo a segundos. Éstos se suman a los segundos.
- Se dividen los segundos entre el número.
El siguiente ejemplo nos permite efectuar la división del tiempo $$34h \ 28 ' \ 44 ''$$ entre $$4$$.
- Paso 1 Dividimos las horas entre $$4$$. $$$34 = 4 \cdot 8+2$$$
El resto es $$2$$, por lo tanto lo multiplicamos por $$60$$ y lo sumamos a los minutos. $$$60 \cdot 2=120$$$ Los sumamos a $$28$$, $$$120+28=148'$$$
- Paso 2 Dividimos los minutos entre $$4$$.
$$$148=4\cdot 37 +0$$$
El resto es $$0$$, por lo que no hace falta sumarle nada a los segundos.
- Paso 3 Dividimos los segundos entre el número $$4$$. $$$44=4 \cdot 11+0$$$
Por último escribimos el resultado: $$8h \ 37 ' \ 11''$$