Ángulos: tipo de ángulos, medida y operaciones

Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

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En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.

Tipo de ángulos

Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:

  • Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.

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  • Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.

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  • Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.

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  • Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.

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  • Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.

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  • Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

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Medida de ángulos

Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo ^\circ (por ejemplo: 93 grados lo expresamos como 93^\circ ).

Para establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.

Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

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Un ángulo completo es un ángulo de 360 grados.

Una vez establecida esta medida, podemos observar que:

  • Un ángulo recto mide 90^\circ .
  • Un ángulo agudo mide entre 0^\circ y 90^\circ .
  • Un ángulo llano mide 180^\circ .
  • Un ángulo obtuso mide entre 90^\circ y 180^\circ .
  • Un ángulo completo mide 360^\circ .
  • Un ángulo cóncavo mide entre 180^\circ y 360^\circ .

y también observamos que:

  • Dos ángulos rectos forman uno llano ( 90^\circ+90^\circ = 180^\circ ).
  • Dos ángulos llanos forman uno completo ( 180^\circ+180^\circ = 360^\circ ).
  • Cuatro ángulos rectos forman uno completo ( 90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ = 360^\circ ).

Suma de ángulos

Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360 grados?

Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0^\circ hasta el de 360^\circ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0^\circ y de 360^\circ son semejantes:

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Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360^\circ podemos buscar un ángulo de entre 0^\circ y 360^\circ y que sea semejante al de la suma.

Por ejemplo,

Si sumamos un ángulo de 90^\circ más uno de 360^\circ , obtenemos uno de 450^\circ , que es semejante a uno de 90^\circ

imagen más imagen = imagen

Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360^\circ , para obtener el ángulo semejante situado entre 0^\circ y 360^\circ tenemos que restar sucesivamente 360^\circ hasta encontrar un ángulo de como máximo 360^\circ .

Realicemos la suma de los ángulos 90^\circ, 180^\circ, 66^\circ, 25^\circ, 300^\circ, 21^\circ y 80^\circ :

90^\circ+180^\circ+66^\circ+25^\circ+300^\circ+21^\circ+80^\circ = 762^\circ

y ahora restemos 360^\circ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360^\circ :

762^\circ - 360^\circ = 402^\circ
402^\circ - 360^\circ = 42^\circ

Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

Resta de ángulos

De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.

Por ejemplo,

Un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto:

imagen menos imagen = imagen

Veamos qué sucede si al restar varios ángulos obtenemos un valor negativo.

Pero de la misma manera que con la suma, el valor de un ángulo negativo es semejante al valor de un ángulo de entre 0^\circ y 360^\circ y para encontrarlo bastará con ir sumando 360^\circ hasta situarnos en el rango deseado (entre 0^\circ y 360^\circ ).

Realicemos la resta de los ángulos 0^\circ, 25^\circ, 36^\circ, 152^\circ, 180^\circ, 36^\circ y 90^\circ :

0^\circ-25^\circ-36-152^\circ-180^\circ-36^\circ-90^\circ = -519^\circ

y sucesivamente, iremos sumando 360^\circ hasta llegar a un valor entre 0^\circ y 360^\circ :

-519^\circ + 360^\circ = -159^\circ

+ 360^\circ = 201^\circ

Por consiguiente, la resta de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 201 grados.

Bisectriz de un ángulo

Diremos que la bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es el ángulo formado por una tercera recta que divide el ángulo original en dos ángulos idénticos:

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En este dibujo podemos ver que la recta roja divide el ángulo formado por las otras dos rectas por la mitad.

Para calcular el ángulo formado por la recta bisectriz, simplemente se tendrá que dividir por dos el valor del ángulo inicial.

Dado un ángulo de 42^\circ encontrar el ángulo bisectriz.

Dividimos por dos 42 y encontramos que:

\dfrac{42^\circ}{2}=21^\circ

Por consiguiente, la recta bisectriz tiene un ángulo de 21 grados.