Veremos un método para resolver EDO's de orden $$2$$ más generales, donde ahora permitiremos coeficientes no constantes. El precio que tenemos que pagar es que tenemos que conocer una solución.
El método que daremos, método de reducción del orden nos dará la segunda solución de una EDO si ya conocemos una.
Supongamos que tenemos una EDO:$$$a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$$$y una solución $$y_1(x)$$ de esta EDO.
La EDO$$$(x^3-2x^2)y''-(x^3+2x^2-6x)y'+(3x^2-6)y=0$$$de la cual conocemos una solución: $$y_1(x)=x^3$$.
Entonces buscamos una segunda solución de la forma $$$y_2(x)=y_1(x)\cdot u(x)$$$ Entonces: $$$\begin{array}{l} y=u\cdot y_1 \\ y'=y_1' \cdot u+y_1\cdot u' \\ y''=y_1''\cdot u +2y_1' \cdot u'+y\cdot u''\end{array}$$$ Impongamos que sea solución: $$$\begin{array}{l} a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y= \\ =a_2(x)\Big(y''\cdot y+2y_1'+y_1\cdot u''\Big)+a_1(x)\Big(y'\cdot u+y_1u'\Big)= \\ =u''(a_2y_1)+u'(2a_2y_1'+a_1y_1)+u(a_2y_1''+a_1y_1'+a_0y_1)\end{array}$$$ Teniendo en cuenta que $$y_1(x)$$ es solución el último término es nulo. Por lo tanto: $$$u''(a_2y_1)+u'(2a_2y_1'+a_1y_1)=0$$$ Esta es una EDO de segundo orden ficticia, ya que el término sin derivar no aparece.
Es decir, si introducimos el cambio $$w(x)=u'(x)$$, tenemos la EDO lineal y homogénea de orden $$1$$ siguiente: $$$w'(a_2y_1)+w(2a_2y_1'+a_1y_1)=0$$$
En nuestro ejemplo, sustituyendo los correspondientes valores de los coeficientes, tenemos: $$$\begin{array}{rcl} w'\Big( x^3(x^3-2x^2)\Big)+w\Big(2(x^3-2x^2)3x^2-(x^3+2x^3-6x)x^3\Big) & = & 0 \\ w'\Big(x^6-2x^5\Big)+w\Big(6x^5-12x^4-x^6-2x^5+6x^4\Big)&=&0 \\ w'\Big(x^6-2x^5\Big)+w\Big(-x^6+4x^5-6x^4\Big)&=&0 \\ w'\Big(x-2\Big)+w\Big(x^2+4x-6\Big)&=&0\end{array}$$$ Resolvemos esta EDO y obtenemos $$w(x)$$. Buscando una primitiva cualquiera de $$w (x)$$, obtenemos $$u (x)$$.
Finalmente, tenemos $$y_2(x)=y_1(x) \cdot u(x)$$ la segunda solución, que es linealmente independiente de la primera.
Finalmente, en nuestro ejemplo, obtenemos: $$\displaystyle w(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$$ Calculando una primitiva cualquiera, $$u(x)=\displaystyle \int \frac{e^x (x-2)}{x^3} \ dx=\frac{e^x}{x^2}$$ Así pues la solución general es: $$y(x)=c_1x^3+c_2xe^x$$