Resolver la ecuación $$4t^2x''+x=0$$ sabiendo que una solución es $$x_1(t)=\sqrt{t} \cdot \ln t$$
Desarrollo:
Se trata de una EDO de segundo orden a coeficientes no constantes homogénea. Como ya conocemos una solución, el método de reducción del orden nos dará otra linealmente independiente, $$x_2(t)$$, de manera que obtendremos dos soluciones linealmente independientes con lo que habremos resuelto la EDO ya que toda solución se escribirá $$$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)$$$
Buscamos la segunda solución de la forma: $$x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)$$.
Calculamos:
$$x_2=x_1\cdot u$$
$$x_2'=x_1'\cdot u+x_1\cdot u'$$
$$x_2''=x_1''\cdot u+x_1'\cdot u'+x_1'\cdot u'+x_1\cdot u''=x_1''\cdot u+2x_1'\cdot u' + x_1 u''$$
Impongamos que sea solución:
$$$4t^2x_2''+x_2=4t^2(x_1''\cdot u +2x_1'\cdot u'+x_1 u'')+x_1\cdot u=$$$ $$$=u''(4t^2\cdot x_1)+u'(8t^2\cdot x_1')+u(4t^2\cdot x_1''+x_1)=0$$$ Notemos que el último término es idénticamente cero, pues $$x_1(t)$$ es solución. Haciendo el cambio $$w(t)=u'(t)$$, obtenemos una EDO lineal en $$w(t)$$: $$$w'(4t^2\cdot x_1)+w(8t^2\cdot x_1')=0 \Rightarrow \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{-w(8t^2\cdot x_1')}{4t^2\cdot x_1} \Rightarrow$$$ $$$ \Rightarrow \dfrac{dw}{w}=\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow \int\dfrac{dw}{w}=\int\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \ln|w(t)|=-2\cdot\ln|x_1(t)|=\ln(|x_1(t)|^{-2}) \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow w(t)=\dfrac{1}{x_1(t)^2}=\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}$$$ Calculemos una primitiva cualquiera de $$w(t)$$ para encontrar $$u(t)$$: $$$u(t)=\int\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}dt=\dfrac{1}{\ln(t)}$$$ Finalmente: $$$x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)=\sqrt{t}\cdot\ln(t)\cdot\dfrac{1}{\ln(t)}=\sqrt{t}$$$ Por lo tanto toda solución se escribe como: $$$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)=C_1(t)\cdot\sqrt{t}\cdot\ln(t)+C_2(t)\cdot\sqrt{t}$$$
Solución:
$$x(t)=C_1(t)\cdot\sqrt{t}\cdot\ln(t)+C_2(t)\cdot\sqrt{t}$$