Para determinar una recta en el plano son necesarios dos puntos o bien un punto y un vector. Un vector director de una recta es cualquier vector que tenga la misma dirección que la recta dada.
Como dados dos puntos podemos fácilmente obtener el vector que hay entre ellos y quedarnos con uno de los puntos, supondremos a partir de ahora que tenemos un punto y un vector.
Dado los puntos $$A = (3, 4)$$ y $$B = (-2, 6)$$, obtener el vector que va de $$A$$ a $$B$$ y el que va de $$B$$ a $$A$$. $$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2, 6) - (3, 4) = (-2-3, 6-4) = (-5, 2) \\ \overrightarrow{BA}= A - B = (3, 4) - (-2, 6) = (3-(-2), 4-6) = (5,-2)$$$
Dados un punto $$P =(p_1,p_2)$$ y un vector $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$, podemos describir los puntos $$(x, y)$$ de la recta que pasa por el punto $$P$$ y tiene la dirección del vector $$\overrightarrow{v}$$ como: $$$\begin{array}{rcl} (x,y) & = & P+k \cdot \overrightarrow{v} \\ (x,y) &=& (p_1,p_2)+ k \cdot (v_1,v_2)\end{array}$$$ donde $$k$$ es un parámetro libre (es decir, una variable que a medida que le damos valores reales cualesquiera obtenemos puntos de la recta).
Escribir la ecuación vectorial de la recta $$r$$ que pasa por los puntos $$A=(3,4)$$ y $$B=(-2,6)$$. $$$\overrightarrow{AB}=(-2-3,6-4)=(-5,2)$$$ Ecuación vectorial: $$$(x, y) = A + k \cdot \overrightarrow {AB} = (3, 4) + k \cdot (-5, 2)$$$