Ecuación de la circunferencia II: ecuación general

Una circunferencia con centro $$C = (a, b)$$ y radio $$r$$ se puede escribir mediante la ecuación reducida como:

$$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$$

Desarrollando los cuadrados de dicha ecuación obtenemos:

$$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$$

y haciendo el cambio $$A= -2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$ en:

$$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$$

se obtiene la nueva ecuación:

$$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$$

Así hemos encontrado otra expresión analítica que nos define los puntos de una circunferencia. A esta ecuación se le llama ecuación general de la circunferencia.

Veamos como determinar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general.

Dado que hemos hecho el cambio:

$$$A=-2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$$

aislamos de estas expresiones los términos $$a$$, $$b$$ y $$r$$. Tenemos:

$$$\displaystyle a=-\frac{A}{2}$$$ $$$b=-\frac{B}{2}$$$ $$$r^2=a^2+b^2-C=\Big(-\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(-\frac{B}{2}\Big)^2-C=\frac{A^2+B^2-4C}{4}$$$

Y como sabemos que en la expresión reducida $$(a, b)$$ es el centro y $$r$$ el radio, dada una ecuación general:

$$$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$$

el centro de tal circunferencia es el punto $$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$$ y el radio es $$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$$.

Supongamos que nos dan la circunferencia $$$x^2+y^2-2x+4y-4=0$$$ entonces tenemos que está centrada en el punto:

$$$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)=\Big(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\Big)=(1,-2)$$$

y tiene radio:

$$$ \displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}=\sqrt{\frac{(-2)^2+4^2-4\cdot(- 4)}{4}}=$$$

$$$=\displaystyle\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{6}{2}=3$$$

Veamos ahora el proceso inverso,

Dar la ecuación general de la circunferencia que tiene por ejemplo radio $$4$$ y centro $$(-5, 6)$$.

Escribimos la ecuación reducida:

$$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 $$$

desarrollando los cuadrados nos queda:

$$$ (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 \Rightarrow x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$$

Si lo ordenamos oportunamente y sumamos todos los términos independientes obtenemos la ecuación general de dicha circunferencia, esto es:

$$$ x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$$

$$$x^2+y^2+10x-12y+25+36=16$$$

$$$x^2+y^2+10x-12y+45=0$$$

Veamos que pasa cuando la circunferencia está centrada en el origen y queremos escribir su ecuación general:

Dado que el $$(0, 0)$$ es el centro tenemos: $$a=0$$ y $$b=0$$ por lo que,

$$$\left.{\begin{matrix} {0=a=-\frac{A}{2}} \\ {0=b=-\frac{B}{2}} \end{matrix}}\right \}\Longrightarrow{\left \{ {\begin{matrix} {A=0}\\{B=0}\end{matrix}}\right . }$$$

de manera que en la ecuación general solo existirán términos cuadráticos y términos independientes, es decir:

$$$x^2+y^2+C=0$$$

que pasando el término independiente al otro lado se convierte en la ecuación reducida de la circunferencia:

$$$x^2+y^2=-C$$$

donde sabemos que $$$C=a^2+b^2-r^2=-r^2$$$

puesto que suponíamos centro $$(0, 0)$$.

En definitiva: Para una circunferencia centrada en el cero las dos ecuaciones son la misma prácticamente.

Veamos un ejemplo:

Circunferencia centrada en el origen y radio $$7$$.

Ecuación reducida: $$x^2+y^2=7^2$$

Ecuación general: $$x^2+y^2+C=0$$ donde $$C=-7^2 \Longrightarrow x^2+y^2-7^2=0$$

Resumiendo tenemos:

Dada la circunferencia como: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Entonces el centro es el punto del plano $$(a,b)$$ y el radio es $$r$$.

$$(x-8)^2+(y+3)^2=1$$ tiene centro $$(8,-3)$$ y radio $$1$$.

Dada la circunferencia como: $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

Entonces el centro es el punto del plano $$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$$ y el radio es $$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(\frac{B}{2}\Big)^2-C}$$

$$x^2+y^2+x-5y-2=0$$ tiene centro $$\displaystyle \Big(\frac{-1}{2},\frac{5}{2}\Big)$$ y radio

$$$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{-5}{2}\Big)^2-(-2)}=\sqrt{\frac{1+25+8}{4}}=\sqrt{\frac{34}{4}}=\sqrt{\frac{17}{2}}$$$