Ejercicios de Derivadas parciales

Dada la función $$f(x,y)=x^2y^3-2xyz^3$$ calcula la pendiente de la recta tangente al punto $$(1,5)$$ en la dirección del eje $$x$$.

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Desarrollo:

Tenemos que calcular $$$\dfrac{\delta f}{\delta x}$$$ $$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=\dfrac{(1+y)(2x)-(x+y+xy)(2)}{(2x)^2}=$$$ $$$=\dfrac{2x+2xy-2x-2y-2xy}{2\cdot2\cdot x^2}=$$$ $$$=\dfrac{-y}{2x^2}$$$

Y ahora la pendiente en el punto $$(1,5)$$

$$$\dfrac{\delta f(1,5)}{\delta x}=\dfrac{-5}{2\cdot1^2}=\dfrac{-5}{2}$$$

Solución:

La pendiente de la recta tangente al punto $$(1,5)$$ en la dirección del eje $$x$$ es descendiente, $$\dfrac{-5}{2}$$.

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Dada la función $$f(x,y,z)=xy\cdot\ln(z)$$ calcula la derivada parcial respecto $$x$$, $$y$$ y $$z$$.

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Desarrollo:

$$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=y\ln(z)$$$

$$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=x\ln(z)$$$

$$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=0\cdot\ln(z)+xy\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{xy}{z}$$$

Solución:

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=y\ln(z)$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=x\ln(z)$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=0\cdot\ln(z)+xy\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{xy}{z}$$

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