Exercicis de Vectors linealment independents i dependents

Indica quines parelles dels vectors següents són linealment independents o linealment dependents.

Veure desenvolupament i solució

Els vectors $$\vec{u}=(0,2)$$, $$\vec{v}=(1,1)$$ són linealment independents perquè no tenen la mateixa direcció, les seves coordenades no són proporcionals: $$$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{0}{-2}$$$ Una altra manera de comprovar que són linealment independents és veient que qualsevol combinació lineal d'aquests vectors igualada a zero implica que els escalars de la combinació lineal són nuls: $$$\lambda(2,0)+\mu(1,-2)=(2\lambda+\mu,-2\mu)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ -2\mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$$
Els vectors $$\vec{u}=(2,-2)$$, $$\vec{v}=(1,-1)$$ són linealment dependents perquè les seves coordenades són proporcionals: $$$2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{-2}{-1}=2$$$
Veiem que en aquest cas els vectors $$\vec{u}=(1,-3)$$, $$\vec{v}=(-3,9)$$ són linealment dependents, ja que: $$$\dfrac{1}{-3}=\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$$ Una altra manera de veure que són linealment dependents és trobant escalars diferents de zero tals que es compleixi $$a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$$, és a dir: $$$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow -9b+9b=0$$$ de manera que la segona equació no ens aporta informació, així doncs només s'ha de complir $$a = 3b$$, per exemple $$a = 3$$, $$b = 1$$ seria una solució del nostre sistema.

Amagar desenvolupament i solució