Sistemes d'equacions logarítmiques

Exercicis

Resol els sistemes.

a) $$\left . \begin{array}{rcl} 2 \log x-3\log y&=&1 \\ \log x+\log y &=&3\end{array}\right \} $$

b) $$\left . \begin{array}{rcl}\log x + \log y &=&\log 100- \log 10 \\ x+ y &=&7\end{array}\right \} $$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Les dues equacions del sistema són logarítmiques, de manera que s'aplicarà el mètode d'eliminació.

En aquest sentit, es pot multiplicar la segona equació per $$3$$ i després sumar-la a la primera, amb la qual cosa s'aconsegueix eliminar $$y$$: $$$3\cdot[\log x+\log y=3] \Rightarrow 3\log x+3\log y=9$$$ $$$ + \left[\begin{array}{r} 2\log x-3\log y = 1 \\ \underline{3\log x+3\log y =9} \\ 5\log x+0 =10 \end{array}\right]$$$ S'opera l'equació resultant per trobar el valor de $$x$$: $$$5\log x=10 \Rightarrow \log x=\dfrac{10}{5}=2 \Rightarrow x=10^2=100$$$ Un cop trobat el valor de $$x$$ es substitueix en la primera equació per trobar el de $$y$$: $$$2\log 100-3\log y=1 \Rightarrow 2\cdot2-3\log y=1 \Rightarrow 4-3\log y=1 \Rightarrow -3\log y=1-4 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow -3\log y=-3 \Rightarrow \log y=\dfrac{-3}{-3}=1 \Rightarrow y=10^1=10$$$

b) En el segon cas hi ha una de les equacions que no és logarítmica, així que s'aplicarà el mètode de substitució. Però primer cal desfer-se dels logaritmes de la primera equació: $$$\log x + \log y =\log 100- \log 10 \Rightarrow \log xy=\log\dfrac{100}{10} \Rightarrow xy=10$$$ L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que es fa el canvi en el sistema:

$$\left . \begin{array}{rcl} xy &=&10 \\ x+y &=&7\end{array}\right \} $$

Si s'aïlla $$x$$ de la primera equació s'obté: $$$xy=10 \Rightarrow x=\dfrac{10}{y}$$$ Ara aquesta expressió es pot substituir en la segona equació: $$$x+y=7 \Rightarrow \dfrac{10}{y}+y=7 \Rightarrow \dfrac{10+y^2}{y}=7 \Rightarrow 10+y^2=7y \Rightarrow y^2-7y+10=0$$$ S'ha obtingut una equació de segon grau amb les solucions: $$$y=\dfrac{7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}$$$ $$$y=\dfrac{7+3}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \\ y=\dfrac{7-3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$$ Ambdues solucions són possibles en l'equació logarítmica, perquè tant el $$\log 5$$ com el $$\log 2$$ existeixen. Així que caldrà buscar per a cada valor de $$y$$ quin és el que li correspon de $$x$$.

Per a això es substitueixen els dos valors de $$y$$ en la segona equació:

Quan $$y=5$$: $$$x=7-y \Rightarrow x=7-5=2$$$

Quan $$y=2$$: $$$x=7-y \Rightarrow x=7-2=5$$$

Solució:

a) $$x=100; \ y=10$$

b) La segona equació té dues solucions possibles: $$x=2; \ y=5$$ i $$x=5; \ y=2$$.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria