Crear una matriu $$4\times4$$, amb la peculiaritat que una de les seves files sigui combinació lineal de les altres $$3$$. Calcular el rang de la matriu.
Desenvolupament:
Creem la matriu $$4\times4$$: $$$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$$ Com es veu $$f4=f1+f2+f3$$.
Calculem el rang.
El primer és eliminar la fila combinació lineal de les altres, és a dir, eliminarem la fila $$4$$.
-Evidentment hi ha submatrius $$1\times1$$ no nul·les (tots els elements no nuls ho són).
-Hi ha submatrius $$2\times2$$ no nul·les? Sí $$$\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right| = 2 \neq 0 $$$
-Hi ha submatrius $$3\times3$$ no nul·les? Sí $$$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0 $$$
$$$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right| = -2-2=-4 \neq 0 $$$
Com que la matriu $$4\times4$$ sí que és nul·la (la fila $$4$$ és combinació lineal de les altres $$3$$ files) l'ordre de la major submatriu quadrada no nul·la és $$3$$.
Per tant, rang$$(A)=3$$.
Solució:
$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$
rang$$(A)=3$$