Una expressió tal com $$\displaystyle \sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt{a+b}, \sqrt[5]{3a-8b}$$ que presenta un signe radical ($$\displaystyle \sqrt{ }$$), s'hi referim com un radical.
La paraula "radical" deriva del vocable llatí "Radix", que significa "arrel". Ara aprendrem a treballar amb les expressions que presenten signes radicals.
Fins ara calculàvem potències d'exponent enter. ¿Però que passa si l'exponent és una fracció?
Per exemple, $$\displaystyle 5^{\frac{2}{3}}$$. En aquest cas, vol dir que hem de fer l'arrel cúbica de $$5$$ elevat a $$2$$. És a dir, $$\displaystyle 5^{\frac{2}{3}}= \sqrt[3]{5^2}$$.
És a dir, per als exponents fraccionaris ens valem de la següent igualtat $$\displaystyle a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^n}$$
Per exemple:
$$\displaystyle 5^{\frac{23}{6}}=\sqrt[6]{5^23}$$ i $$\displaystyle 3^{\frac{9}{2}}=\sqrt{3^9}$$
L'expressió $$\displaystyle \sqrt[n]{a}$$ és un radical d'índex $$n$$: el nombre $$n$$ és l'índex del radical i el nombre $$a$$ és el radicand. Per tant una potència d'exponent fraccionari és un radical.
L'índex de l'arrel (excepte en el cas d'una arrel quadrada) es col·loca en l'obertura del símbol radical. L'índex diu què arrel es pretén extreure del radicand.
Per exemple $$\displaystyle \sqrt[5]{32}$$: El radicand és $$32$$ i l'índex de l'arrel és $$5$$. La cinquena arrel de $$32$$ és el que es busca. Quan l'índex és $$2$$ no s'escriu però se sobreentén.
Recordeu que si es pot determinar una arrel quadrada d'un nombre llavors és possible sempre determinar dues.
Els radicals que tenen el mateix índex i el mateix radicand són semblants.
Els radicals semblants poden tenir diferents coeficients al capdavant del signe radical.
Les operacions habituals de potències continuen funcionant ja que segueixen sent de potències, però ara amb exponents fraccionaris.
Per exemple,
$$\displaystyle 4^{\frac{4}{2}}\cdot 4^{\frac{6}{2}}=4^{\frac{3+6}{2}}=4^{\frac{9}{2}}=\sqrt{4^9}$$
per tant aquesta manera de passar de radicals a potències ens permet treballar expressions que contenen arrels molt més fàcilment.
Vegem un altre exemple:
$$\displaystyle \sqrt[4]{5^{34}} \cdot \sqrt[2]{5^{12}}=5^{\frac{34}{4}}\cdot 5^{\frac{12}{2}}=5^{\frac{34+24}{4}}=5^{\frac{58}{4}}=5^{\frac{29}{2}}=\sqrt{5^{29}}$$