Inventar una matriu $$3\times3$$ i calcular la seva inversa.
Per què no pot ser qualsevol matriu? Quin requisit ha de complir?
Desenvolupament:
Definim la matriu $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array} \right)$$
Anem a utilitzar el mètode per determinants
1) Calculem el determinant (utilitzem la regla de Sarrus):
$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array} \right|= (1\cdot1\cdot-2)+(-1\cdot-1\cdot-2)+(0)-0-(1\cdot-1\cdot1)-0=-3$$
2) Es calcula la matriu adjunta
$$A^{adj}=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
3) Transposem la matriu adjunta
$$(A^{adj})^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
4) Calculem la matriu inversa:
$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(A^{adj})^t=\dfrac{1}{-3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\dfrac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
Solució:
$$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
En dividir pel determinant és imprescindible que el determinant d'$$A$$ no sigui nul.
Aquesta és la condició que ha de tenir la matriu $$A$$ per ser invertible.