Integrals per fraccions simples

Un tipus d'integral que ens podem trobar són aquelles integrals d'una fracció polinòmica.

De manera més general, les integrals de la forma$$\displaystyle \int R(x) \ dx= \int \frac{P(x)}{F(x)}$$, on $$P(x)$$ i $$F(x)$$ són polinomis.

En el cas en què grau $$P(x) \geqslant$$ grau $$F(x)$$, cal fer la divisió de polinomis per obtenir:

$$\displaystyle\frac{P(x)}{F(x)}=Q(x)+\frac{f(x)}{F(x)}$$, on grau $$f(x))<$$ grau $$F(x)$$, i llavors realitzem la descomposició en fraccions simples de $$\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}$$.

Descomposició en fraccions simples

Per descompondre una fracció polinòmica en fraccions simples, primer hem de factoritzar en polinomis de grau $$1$$ i $$2$$ el polinomi denominador.

Després, igualem la funció a una suma de termes: donada $$\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}$$, descomponsem, com hem vist en el tema de polinomis, $$F(x)$$ com un producte de polinomis de grau 1 i 2: $$$F(x)=a_{m}x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=$$$ $$$=a_{m} \cdot (x-a)^{\alpha} \cdot (x-b)^{\beta}\cdot \ldots (x^2+ox+q)^\rho\cdot(x^2+rx+s)^\lambda$$$ , on $$a$$, $$b$$, etc són les arrels del polinomi, de multiplicitat $$\alpha, \beta, \ldots$$, i $$p$$, $$q$$, $$r$$, $$s$$ són coeficients dels factors irreductibles d'ordre $$2$$.

Així, prenem la igualtat següent:$$$\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a^2)}+ \ldots+\frac{A_{\alpha}}{(x-a)^\alpha}+\frac{B_1}{x-b}+\frac{B_2}{(x-b)^2}+$$$ $$$+\ldots+\frac{B_\beta}{(x-b)^\beta}+\frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q}+\frac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^2}+$$$ $$$+\ldots+\frac{M_px+N_p}{(x^2+px+q)^p}+\ldots$$$ on $$A$$'s,$$B$$'s, $$M$$'s i $$N$$'s són incògnites.

A continuació, realitzem la suma de totes aquestes funcions polinòmiques, a partir del denominador comú, i igualem aquesta suma a la fracció polinòmica inicial, igualant els coeficients de cada grau del numerador.

Un cop obtinguts els coeficients, expressem la integral original com a suma d'integrals, que sabem resoldre utilitzant logaritme i arctangent.

Procediment a seguir

1. Assegurar que el grau del numerador és més gran que el del denominador. En cas contrari, separar la fracció realitzant la divisió de polinomis.
2. Descompondre en factors el polinomi denominador, sigui per Ruffini o per qualsevol altre mètode.
3. Escriure la fracció polinòmica en forma de suma de fraccions com s'ha descrit anteriorment, obtenint diverses constants incògnites.
4. Treure factor comú dels denominadors, i obtenir un sistema d'equacions igualant els termes del mateix grau.
5. Resoldre el sistema d'equacions, obtenint les constants.
6. Escriure la integral com a suma d'integrals de fraccions de grau 1 o 2, i resoldre-la, tenint en compte que:$$$\displaystyle \int \frac{1}{x+a} \ dx=\ln|x+a|+C \\ \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2} \ dx=\frac{1}{a} \arctan \Big(\frac{x}{a}\Big)+C$$$ $$$\displaystyle \int \frac{x}{x^2+a^2} \ dx=\frac{1}{2}\ln|x^2+a^2|+C$$$