Calcular la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^e \frac{(\ln(x))^3}{x} \ dx$$ , en l'interval $$[1, e]$$.
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
Procedim de la següent manera:
- Trobar la funció primitiva de l'integrant.
$$\displaystyle \int (\ln(x))^3\cdot\dfrac{1}{x} \ dx= \dfrac{(\ln(x))^4}{4}$$
- Avaluar en els extrems de l'interval d'integració.
$$\Big[\dfrac{(\ln(x))^4}{4}\Big]^e_1=\dfrac{(\ln(e))^4}{4}-\dfrac{(\ln(1))^4}{4}=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}$$
Solució:
$$\displaystyle \int_{1}^e \frac{(\ln(x))^3}{x} \ dx=\dfrac{1}{4}$$