Gradient d'un camp escalar, divergència i rotacional d'un camp vectorial

Gradient d'un camp escalar

Sigui $$f: U\subseteq \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}$$ un camp escalar i siguin $$\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z}$$ les derivades parcials de $$f$$ (és a dir, derivar respecte una variable mantenint les altres com a constants). Llavors, el gradient de $$f$$ és: $$$grad(f)=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$$$

Observem que el gradient de $$f$$ és un vector, encara que $$f$$ sigui un camp escalar. Cal tenir en compte que:

  • El gradient apunta en la direcció en què la derivada direccional de la funció $$f$$ és màxima, i el seu mòdul en un punt és el valor d'aquesta derivada direccional en aquest punt.
  • S'anul·len en els punts d'inflexió de la funció $$f$$.
  • El gradient converteix un camp escalar en un camp vectorial.
  • $$f(x,y,z)=x^2 \cdot y- z^3 \cdot z$$

    $$grad(f)=(2 \cdot x\cdot y-z^3, x^2, 3 \cdot z^2 \cdot x)$$

  • $$f(x,y,z)=x \cdot \sin(y) \cdot e^{5\cdot z}$$

    $$grad(f)=(\sin y \cdot e^{5\cdot z}, x \cdot \cos y \cdot e^{5\cdot z}, x \cdot \sin y \cdot 5 \cdot e^{5\cdot z})$$

  • $$f(x,y,z)= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

    $$grad(f)=\Big(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Big)$$

Divergència d'un camp vectorial

Sigui $$F: U \subseteq \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 ,F= (F_{1}, F_{2}, F_{3})$$ un camp vectorial. Llavors, la divergència de $$F$$ és: $$$div(F)=\frac{\partial}{\partial x} F_{1}+\frac{\partial}{\partial y} F_{2}+\frac{\partial}{\partial z} F_{3}$$$

  • $$F(x,y,z)=(x^3 \cdot y, 2 \cdot z \cdot \sin x, \cos z )$$

    $$div(F)= \frac{\partial}{\partial x}(x^3 \cdot y) +\frac{\partial}{\partial y} (2 \cdot z \cdot \sin x)+\frac{\partial}{\partial z} (\cos z)=3 \cdot x^2\cdot u+0- \sin z$$

  • $$F(x,y,z)=(-2 \cdot x \cdot y, y \cdot \sin z+y^2+z, \cos z)$$

    $$div(F)=\frac{\partial}{\partial x} (-2 \cdot x \cdot y)+\frac{\partial}{\partial y} (y \cdot \sin z+y^2+z)+\frac{\partial}{\partial z} (\cos z)=$$

    $$=-2 \cdot y+\sin z+2 \cdot y- \sin z$$

El gradient converteix un camp escalar en un camp vectorial.

Rotacional d'un camp vectorial

Sigui $$F: U \subseteq \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 ,F= (F_{1}, F_{2}, F_{3})$$ un camp vectorial. Llavors, la divergència de $$F$$ és: $$$rot(F)=\Big(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}- \frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}- \frac{\partial F_{3}}{\partial x},\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \Big)$$$ O també es pot calcular com el següent determinant, (tenint en compte que i, j, k són la coordenada a la qual corresponen): $$$\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array}\right |$$$

$$$F(x,y,z)=(4 \cdot x \cdot e^{y}, x \cdot \ln z, y)$$$ $$$rot(F)=\Big(\frac{\partial (y)}{\partial y}- \frac{\partial (x \cdot \ln z)}{\partial z}, \frac{\partial (4 \cdot x \cdot e^{y})}{\partial z}- \frac{\partial (y)}{\partial x},\frac{\partial (x \cdot \ln z)}{\partial x}-\frac{\partial (4 \cdot x \cdot e^{y})}{\partial y} \Big)$$$ $$$= \Big(1-\frac{x}{z}, 0-0, \ln z - 4 \cdot x \cdot e^{y} \Big)$$$

Propietats del gradient, la divergència i el rotacional

Si $$f$$ es un camp escalar i $$F$$ un camp vectorial, llavors sempre es compleix que

  1. $$rot (grad (f))=0$$
  2. $$div (rot (F))=0$$
  3. $$rot (f \cdot F )=grad (f) \times F + f \cdot rot (f)$$
  4. $$div(f \cdot F) = f \cdot div(F) +grad (f) \cdot F$$

on $$\cdot$$ és el producte escalar i $$\times$$ el producte vectorial.