Exercicis de Definició i terme general d'una successió

Desenvolupament:

a) $$$a_1=(-1)^1(1+2)=-1\cdot3=-3$$$ $$$a_2=(-1)^2(2+2)=+1\cdot4=4$$$ $$$a_3=(-1)^3(3+2)=-1\cdot5=-5$$$ $$$a_4=(-1)^4(4+2)=+1\cdot6=6$$$ $$$a_5=(-1)^5(5+2)=-1\cdot7=-7$$$

b) $$$b_1=\dfrac{(1+1)(1-1)}{2\cdot1^2}=\dfrac{1\cdot0}{2}=0$$$ $$$b_2=\dfrac{(2+1)(2-1)}{2\cdot2^2}=\dfrac{3\cdot1}{8}=\dfrac{3}{8}$$$ $$$b_3=\dfrac{(3+1)(3-1)}{2\cdot3^2}=\dfrac{4\cdot2}{18}=\dfrac{4}{9}$$$ $$$b_4=\dfrac{(4+1)(4-1)}{2\cdot4^2}=\dfrac{5\cdot3}{32}=\dfrac{15}{32}$$$ $$$b_5=\dfrac{(5+1)(5-1)}{2\cdot5^2}=\dfrac{6\cdot4}{50}=\dfrac{12}{25}$$$

c) $$$c_1=3\cdot1^2-12=3-12=-9$$$ $$$c_2=3\cdot2^2-12=12-12=0$$$ $$$c_3=3\cdot3^2-12=27-12=15$$$ $$$c_4=3\cdot4^2-12=48-12=36$$$ $$$c_5=3\cdot5^2-12=75-12=63$$$

d) $$$d_0=0$$$ $$$d_1=1$$$ $$$d_2=d_1+d_0=1+1=2$$$ $$$d_3=d_2+d_1=2+1=3$$$ $$$d_4=d_3+d_2=3+2=5$$$ $$$d_5=d_4+d_3=5+3=8$$$ $$$d_6=d_5+d_4=8+5=13$$$

Solució:

a) $$a_n=(-3,4,-5,6,-7,\ldots)$$

b) $$b_n=\Big(0,\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{9},\dfrac{15}{32},\dfrac{12}{25},\ldots\Big)$$

c) $$c_n=(-9,0,15,36,63,\ldots)$$

d) $$d_n=(0,1,2,3,5,\ldots)$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Si relacionem cada terme amb la posició que ocupa: $$$a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$$ $$$1\rightarrow 1$$$ $$$2\rightarrow 4$$$ $$$3\rightarrow 9$$$ $$$4\rightarrow 16$$$ $$$\ldots$$$

Si ens fixem en el primer terme, veiem que aquest no s'ha modificat, i no obtenim informació. Però si ens fixem en el segon terme, veiem que $$a_2$$ és el doble de $$2$$, $$a_3$$ és el triple de $$3$$, i $$a_4$$ és el resultat de $$4\cdot4$$, és a dir que per aconseguir cada terme, s'ha multiplicat la posició del terme per ell mateix, és a dir, l'hem elevat al quadrat: $$$a_1=1^2=1, \ a_2=2^2=4, \ a_3=3^2=9, \ a_4=4^2=16, \ \ldots$$$ I el terme general, ens queda: $$$a_n=(n^2)_{n\in\mathbb{N}}$$$

b) Definirem aquesta successió de forma recursiva. D'una banda observem que cada terme canvia de signe el comparació a l'anterior, i d'altra banda, es veu que cada terme és el doble que l'anterior, així que tenim: $$$a_{n+1}=-2\cdot a_n$$$, i com que $$a_1=-2$$, ja tenim definida la successió. (També es pot donar el terme general $$a_n=(-2)^n$$ pensant en les progressions.)

Solució:

a) $$a_n=(n^2)_{n\in\mathbb{N}}$$.

b) $$a_{n+1}=-2\cdot a_n$$, amb $$a_1=-2$$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) El nombre $$25$$ pertanyerà a la successió si hi ha un nombre natural $$n$$ tal que $$a_n=25$$. Com que $$a_n=3n+4$$, eeemplaçant una igualtat en l'altra tenim: $$$25=3n+4$$$ $$$3n=21$$$ $$$n=7$$$

Així que, no només veiem que pertany a la successió, sinó que hem trobat quina posició ocupa.

b) Procedirem de la mateixa manera que en el cas anterior: $$$\left. \begin{array}{c} c_n=\dfrac{9}{5} \\ c_n=\dfrac{n^2}{n+1} \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{9}{5}=\dfrac{n^2}{n+1} \Rightarrow 9(n+1)=5n^2$$$

Així que només ens queda resoldre l'equació de segon grau:

$$$5n^2-9n-1=0 \Rightarrow n=\dfrac{9\pm3\sqrt{5}}{10}$$$ En no obtenir cap valor de $$n$$ enter, el número $$\dfrac{9}{5}$$ no forma part de la successió (no pot ocupar una posició irracional!).

Solució:

a) $$a_7=25$$

b) No pertany a la successió.

Amagar desenvolupament i solució