Exercicis de Definició de nombres complexos

Desenvolupament:

Si han de tenir un múltiple de la unitat imaginària el més fàcil és agafar un múltiple qualsevol (és a dir un nombre qualsevol multiplicant $$i$$): $$$12i=x \ \Rightarrow \ (12i)^2=x^2 \ \Rightarrow \ 144i^2=x^2 \ \Rightarrow \ -144=x^2 \ \Rightarrow \ x^2+144=0$$$ té $$12i$$ com a solució, i $$12i$$ és múltiple de la unitat imaginària $$i$$. De la mateixa manera, s'obté que $$x^2+169=0$$ té un múltiple de $$i$$ com a solució que de fet és $$13i$$.

Solució:

$$ x^2+144=0 \quad $$ i $$ \quad x^2+169=0$$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El primer és un imaginari però no és pur ja que té part real.El nombre complex imaginari pur és $$\sqrt{-27}$$. Ho és perquè és un múltiple de la unitat imaginària.

Solució:

L'únic imaginari pur és $$\sqrt{-27}$$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. $$3x^2+27=0 \ \Rightarrow \ 3x^2=-27 \ \Rightarrow \ x=\pm \sqrt{-\dfrac{27}{3}}=\pm 3i$$
2. $$8x^2+4x-2=0 \ \Rightarrow$$ $$ \displaystyle \begin{array}{rl} x &=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot8\cdot2}}{16}= \frac{-4\pm\sqrt{-48}}{16}=\dfrac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{48}}{16}\\ &=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{2^4\cdot3}}{16} = \frac{-1}{4}\pm \frac{i\cdot 2^2\sqrt{3}}{16}= \frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{3}}{4} \end{array} $$

Solució:

1. $$x=\pm 3i$$
2. $$x_1= \dfrac{-1}{4}+ \dfrac{\sqrt{3}}{4}i \qquad x_2= \dfrac{-1}{4}- \dfrac{\sqrt{3}}{4}i $$

Amagar desenvolupament i solució