Indica quines parelles dels vectors següents formen una base, en cas que la formin determina les coordenades del vector $$\vec{w}=(5,-2)$$ a cada base.
- $$\vec{u}=(2,0)$$, $$\ \vec{v}=(1,1)$$
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-1)$$
- $$\vec{u}=(1,-3)$$, $$\ \vec{v}=(-3,9)$$
Desenvolupament:
-
Els vectors $$\vec{u}=(2,0)$$ i $$\ \vec{v}=(1,1)$$ són linealment independents perquè no tenen la mateixa direcció, les seves coordenades no són proporcionals: $$$\dfrac{0}{2}\neq\dfrac{1}{1}$$$ Observem que com la segona component del vector $$\vec{u}$$ és $$0$$ hem fet el quocient al revés ja que el que ens interessa és comprovar si els seus components són proporcionals. Una altra manera de comprovar que són linealment independents és veient que qualsevol combinació lineal d'aquests vectors igualada a zero implica que els escalars de la combinació lineal són nuls: $$$\lambda(2,0)+\mu(1,1)=(2\lambda+\mu,\mu)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ \mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$$ Així doncs, com els vectors són linealment independents formen una base. Les coordenades de $$\vec{w}$$ en aquesta base són escalars que compleixen $$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$$, és a dir: $$$(5,-2)=a(2,0)+b(1,1)=(2a,0)+(b,b)=(2a+b,b)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2a+b=5 \\ b=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow a=\dfrac{7}{2}, \ b=-2$$$ Per tant $$\vec{w}=(\dfrac{7}{2},-2)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
-
Els vectors $$\vec{u}=(2,1)$$ i $$\ \vec{v}=(1,-1)$$ són linealment independents perquè les seves coordenades no són proporcionals: $$$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$$$ Per tant, formen una base. Les coordenades de $$\vec{w}$$ en aquesta base compleixen $$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$$, és a dir: $$$(5,-2)=a(2,1)+b(1,-1)=(2a+b,a-b)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2a+b=5 \\ a-b=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow a=1, \ b=3$$$ Per tant $$\vec{w}=(1,3)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Veiem que en aquest cas els vectors $$\vec{u}=(1,-3)$$ i $$\ \vec{v}=(-3,9)$$ són linealment dependents ja que: $$$\dfrac{1}{-3}\neq\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$$ Una altra manera de veure que són linealment dependents és trobant escalars diferents de zero tals que es compleixi $$a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$$, és a dir: $$$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow \Rightarrow -9b+9b=0 $$$ de manera que la segona equació no ens aporta informació, així doncs només s'ha de complir $$a = 3b$$, per exemple $$a = 3$$, $$b = 1$$ seria una solució del nostre sistema. Al no ser linealment independents no podem formar una base.
Solució:
- Els vectors $$\vec{u}=(2,0)$$ i $$\ \vec{v}=(1,1)$$ formen una base. $$\vec{w}=(\dfrac{7}{2},-2)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Els vectors $$\vec{u}=(2,1)$$ i $$\ \vec{v}=(1,-1)$$ formen una base. $$\vec{w}=(1,3)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Els vectors $$\vec{u}=(1,-3)$$ i $$\ \vec{v}=(-3,9)$$ no formen una base.