Exercicis de Aplicacions del producte escalar

Desenvolupament:

• Si $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ són paral·lels, les seves coordenades han de ser proporcionals, de manera que es compleixi: $$$ \dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow x=6$$$
• Si $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ són perpendiculars el seu producte escalar haurà de ser igual a zero: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$$$

• Si $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ formen un angle de $$45^\circ$$, haurà de complir que: $$$\cos{\widehat{uv}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$$ I per la fórmula del producte escalar $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos{\widehat{uv}}$$, aïllant el cosinus obtenim: $$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\widehat{uv})= \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}= \dfrac{3x+2}{\sqrt{x^2+4}\sqrt{10}}$$$ multiplicant en creu el trencat inicial i final, dóna lloc a: $$$\sqrt{x^2+4}\cdot\sqrt{20}=6x+4$$$ elevant al quadrat cada costat de la igualtat: $$$ \begin{array}{rcl} 20(x^2+4) &=& (6x+4)^2 \\ 20x^2+80 &=& 36x^2+48x+16 \end{array}$$$ $$$16x^2+48x-64 =0$$$ Equació de segon grau, que té com solucions: $$x=-4$$ i $$x=1$$. Comprovem si les solucions són vàlides:

  Primer valor: $$\vec{u}=(-4,2)$$, $$\vec{v}=(3,1)$$ $$$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{-12+2}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{-10}{\sqrt{200}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$$$ No és vàlid.

  Segon valor: $$\vec{u}=(1,2)$$, $$\vec{v}=(3,1)$$ $$$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{3+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$$ Sí que és vàlid.

  La presència de solucions no vàlides es deu al fet de l'equació irracional, que per a resoldre-la hem hagut de elevar al quadrat els dos membres de la igualtat. Sempre que fem aquesta operació hem de comprovar al final si les solucions trobades són vàlides o no.

Solució:

• $$x=6$$
• $$x=-\dfrac{2}{3}$$
• $$x=1$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Volem trobar un vector $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tal que el seu mòdul sigui $$3$$, és a dir, $$$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$$

i que $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$ (imposem perpendicularitat): $$$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$$

Substituint $$v_1=2v_2$$ a la primera igualtat, obtenim: $$$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$$

Solució:

$$v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$$ i $$v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

• Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot3+(-2)\cdot2=-1$$$
• Utilitzem la fórmula del producte escalar $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$, de manera que obtenim: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4\cdot\cos(60^\circ)=12\cdot\dfrac{1}{2}=6$$$
• Utilitzem la fórmula del producte escalar $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$, per poder-la aplicar necessitem calcular el mòdul dels vectors, així doncs: $$$|\vec{u}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{3^2}=3$$$ Llavors obtenim: $$$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})= \arccos\Big(\dfrac{-1\cdot3+2\cdot2}{\sqrt{5}\cdot3}\Big) =\arccos\Big(\dfrac{-3}{3\sqrt{5}}\Big)$$$ $$$=\arccos\Big( \dfrac{-1}{\sqrt{5}}\Big)=116^\circ 33' 54''$$$

Solució:

• $$-1$$
• $$6$$
• $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=116^\circ 33' 54''$$

Amagar desenvolupament i solució