Potencias

Calculemos $$2\cdot 2=4$$ y también $$2 \cdot 2 \cdot 2=8$$. Estas multiplicaciones son sencillas y rápidas de escribir, pero no siempre es así. Veamos que pasa si queremos multiplicar $$2$$ por él mismo siete veces. Deberemos escribir $$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=128$$. En este caso ya nos damos cuenta que es más pesado escribir la operación.

Por eso se utiliza una notación mucho más práctica: las potencias. Así pues se escribe el número que se quiere multiplicar por él mismo y en forma de superíndice las veces que se multiplica. De esta forma se indica el número de veces que queremos multiplicarlo por si mismo.

Por ejemplo,

Si queremos multiplicar el número $$5$$ por él mismo $$6$$ veces, se escribe: $$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= 5^6$$

Por lo tanto, dado que $$2 \cdot 2=4$$ podemos escribir que $$2^2=4$$, y leeremos que "dos elevado a dos es igual a cuatro". O también $$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$$ "cuatro elevado a cuatro", o bien $$134 \cdot 134 \cdot 134 = 134^3 $$, "ciento treinta y cuatro elevado a tres".

Así, se tiene por ejemplo,

$$3^5= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$$ de forma que nos ahorramos escribir tal producto de forma larga i extensa. En este caso se lee "tres elevado a cinco" que quiere decir que multiplicamos cinco veces el número tres por él mismo.

En una expresión del tipo $$a^n=b$$ donde $$a$$, $$b$$ y $$n$$ son números naturales, significa que $$a \cdot a \cdot\overset{(n)}{\ldots}\cdot a=b$$ y se distinguen distintos elementos.

  • $$a$$ es la base de la potencia.
  • $$n$$ es el exponente de la potencia.
  • $$b$$ es la $$n$$-ésima potencia de $$a$$. (cuando $$n$$ es $$2$$ se le llama cuadrado y cuando es $$3$$ cubo)

Veamos algunos ejemplos:

$$7 \cdot 7=7^2=49$$ donde $$7$$ es la base de la potencia, $$2$$ es el exponente y $$49$$ es el cuadrado de $$7$$.

$$2^8=256$$ donde $$2$$ es la base, $$8$$ el exponente y $$256$$ es la octava potencia de $$2$$.

Veamos ahora algunas potencias especiales:

$$0^1=0, 0^2=0 \ldots$$ dado que por muchas veces que multipliquemos cero por él mismo siempre da cero. $$1^2=1\cdot 1=1, 1^3=1\cdot 1\cdot 1=1 \ldots$$ dado que por muchas veces que multipliquemos uno por él mismo siempre sigue siendo uno. $$3^1=3, 8^1=8, \ldots$$ y esto mismo sirve para cualquier número con exponente $$1$$. Puesto que multiplicarlo por el mismo una vez significa no hacer nada. Para todo número se cumple: $$a^1=a$$

Debe tenerse en cuenta además, que por convenio se establece que para cualquier número se cumple que: $$a^0=1$$. Así pues, $$4^0=1, 345^0=1, 78^0=1, \ldots$$

Ver problemas