Una expresión tal como $$\displaystyle \sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt{a+b}, \sqrt[5]{3a-8b}$$ que presenta un signo radical ($$\displaystyle \sqrt{ }$$), se refiere como un radical.
La palabra "radical" deriva del vocablo latino "radix", que significa "raíz". Ahora aprenderemos a trabajar con las expresiones que presentan signos radicales.
Hasta ahora calculábamos potencias de exponente entero. ¿Pero que pasa si el exponente es una fracción?
Por ejemplo, $$\displaystyle 5^{\frac{2}{3}}$$. En este caso, significa que debemos hacer la raíz cúbica de $$5$$ elevado a $$2$$. Es decir, $$\displaystyle 5^{\frac{2}{3}}= \sqrt[3]{5^2}$$.
Es decir, para los exponentes fraccionarios nos valemos de la siguiente igualdad $$\displaystyle a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^n}$$
Por ejemplo:
$$\displaystyle 5^{\frac{23}{6}}=\sqrt[6]{5^23}$$ y $$\displaystyle 3^{\frac{9}{2}}=\sqrt{3^9}$$
La expresión $$\displaystyle \sqrt[n]{a}$$ es un radical de índice $$n$$: el número $$n$$ es el índice del radical y el número $$a$$ es el radicando. Por lo tanto una potencia de exponente fraccionario es un radical.
El índice de la raíz (excepto en el caso de una raíz cuadrada) se coloca en la apertura del símbolo radical. El índice dice qué raíz se pretende extraer del radicando.
Por ejemplo $$\displaystyle \sqrt[5]{32}$$: el radicando es $$32$$ y el índice de la raíz es $$5$$. La quinta raíz de $$32$$ es lo que se busca. Cuando el índice es $$2$$ no se escribe pero se sobreentiende.
Recordar que si se puede determinar una raíz cuadrada de un número entonces es posible siempre determinar dos de ellas.
Los radicales que poseen el mismo índice y el mismo radicando son semejantes.
Los radicales semejantes pueden tener diferentes coeficientes al frente del signo radical.
Las operaciones habituales de potencias siguen funcionando puesto que siguen siendo potencias, pero ahora con exponentes fraccionarios.
Por ejemplo,
$$\displaystyle 4^{\frac{4}{2}}\cdot 4^{\frac{6}{2}}=4^{\frac{3+6}{2}}=4^{\frac{9}{2}}=\sqrt{4^9}$$
por lo tanto esta manera de pasar de radicales a potencias nos permite trabajar expresiones que contienen raíces mucho más fácilmente.
Veamos otro ejemplo:
$$\displaystyle \sqrt[4]{5^{34}} \cdot \sqrt[2]{5^{12}}=5^{\frac{34}{4}}\cdot 5^{\frac{12}{2}}=5^{\frac{34+24}{4}}=5^{\frac{58}{4}}=5^{\frac{29}{2}}=\sqrt{5^{29}}$$