Operaciones con potencias

Veamos como se hacen las operaciones comunes entre potencias:

Producto de potencias

Si queremos hacer el producto de dos potencias de la misma base, por ejemplo $$4^3$$ y $$4^6$$, hacemos el siguiente razonamiento:$$$\begin{array}{rcl} 4^3&=& 4\cdot 4 \cdot 4 \\ 4^6 &=& 4 \cdot 4 \cdot 4\cdot 4\cdot 4 \cdot 4\end{array}$$$

Por lo tanto, si las multiplicamos tendremos:$$$4^3\cdot 4^6=(4 \cdot 4 \cdot 4)\cdot (4 \cdot 4\cdot 4 \cdot 4\cdot 4 \cdot 4)=4^9=4^{3+6}$$$ En general, se tiene que si queremos hacer el producto de dos potencias de la misma base el resultado es fruto de poner la misma base pero con exponente la suma de los exponentes. Esto es: $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$.

$$$\displaystyle 2^4\cdot 2^5= 2^{4+5}=2^9 \\ 9^{21}\cdot 9^5 = 9^{21+5}=9^{26}$$$

Cociente de potencias

De manera similar al producto se puede calcular el cociente de dos potencias de la misma base. Por ejemplo: $$$\displaystyle \frac{4^6}{4^2}=\frac{4 \cdot 4 \cdot 4\cdot 4\cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4}=4 \cdot 4\cdot 4 \cdot 4=4^{6-2}$$$ Por lo que decimos que, en general, el procedimiento es: $$\displaystyle \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$. Ilustrémoslo en algunos cálculos:

$$\displaystyle \frac{3^7}{3^3}=\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^4=3^{7-3}$$

$$\displaystyle \frac{17^{34}}{17^{12}}=17^{34-12}=17^{22}$$

$$\displaystyle \frac{4^3}{4^3}=4^{3-3}=4^0=1$$

Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación $$(3 \cdot 4)^3$$ observamos que $$(3 \cdot 4)^3=(3 \cdot 4)\cdot (3 \cdot 4) \cdot (3\cdot 4)=(3 \cdot 3\cdot 3)\cdot (4 \cdot 4 \cdot 4)= 3^3 \cdot 4^3$$. Para calcular el resultado tenemos dos opciones, o bien multiplicar 3 por 4 y elevar el producto al cubo: $$(3 \cdot 4)^3=(12)^3=1728$$ o bien elevar al cubo cada uno de los factores del producto: $$3^3=27$$ y $$4^3=64$$ por lo tanto el producto será $$27 \cdot 64=1728$$. En general pues, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias. Es decir, $$(a \cdot b)^m=a^m \cdot b^m$$.

$$\displaystyle (4 \cdot 2 \cdot 10)^2=4^2\cdot 2^2\cdot 10^2=16 \cdot 5 \cdot 100 =6400$$

$$\displaystyle (3\cdot 5)^3=3^3\cdot 5^3=27 \cdot 625 = 16875$$

Potencia de un cociente

De manera similar que en el producto se tiene que en general $$\displaystyle \Bigg(\frac{a}{b}\Bigg)^m = \frac{a^m}{b^m}$$. Veamos algunos ejemplos:

$$$\displaystyle \Bigg(\frac{6}{7}\Bigg)^2= \frac{6^2}{7^2}=\frac{36}{49} \\ \Bigg(\frac{5}{21}\Bigg)^8 = \frac{5^8}{21^8}=\frac{390625}{37822859361}$$$

Potencia de una potencia

Para calcular expresiones como por ejemplo $$\Big(2^3\Big)^5$$ razonamos de la siguiente forma: $$\Big(2^3\Big)^5=(2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3)=2^{3+3+3+3+3}=2^{15}$$ Por lo tanto nos damos cuenta que en hacer una potencia de una potencia, los exponentes se multiplican y la base se deja igual. En general, esto se expresa como: $$\Big( a^n\Big)^m= a^{n\cdot m}$$ Veámoslo en algún ejemplo:

$$$\displaystyle (4^2)^5= 4^{2 \cdot 5}= 4^{10} \\ (9^5)^7=9^{5\cdot 7}= 9^{35}$$$

Gracias a todas estas propiedades de las potencias ya podemos trabajar con expresiones más cómodas cuando necesitamos hacer el producto de un número por él mismo muchas veces. Para asimilar completamente el concepto veamos unos cuantos ejemplos que mezclan todas las propiedades:

$$$\displaystyle 3^4\cdot 3^2- \displaystyle \frac{5\cdot (5^4)^2}{5^3}=3^{4+2}-\frac{5 \cdot 5^{4\cdot 2}}{5^3}=3^6-\frac{5 \cdot 5^8}{5^3}=3^6-\frac{5^{1+8}}{5^3}=3^6-\frac{5^9}{5^3}=3^6-5^{9-3}=3^6-5^6 \\ \displaystyle \frac{3 \cdot 6^{10} \cdot (3^4)^2\cdot 6}{3 \cdot 6}=\frac{3\cdot 3^{4\cdot 2}\cdot 6^{10+1}}{3 \cdot 6} = 3^{9-1}\cdot 6^{11-1}= 3^8\cdot 6^{10} \\ \displaystyle 4^{-2}=\frac{1}{4^2} \\ (3^7)^{-2}= 3^{7\cdot (-2)}=3^{-14} \\6^{-8}\cdot 6^3 = \displaystyle \frac{6^3}{6^8}= 6^{3-8}= 6^{-5}=\displaystyle \frac{1}{6^5}$$$

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