Potencias de base negativa

Para calcular la potencia de un número negativo también se procede de la misma manera que antes, multiplicándolo por él mismo tantas veces como nos indique el exponente. Pero en este caso además, se debe tener en cuenta la jerarquía de los signos en el producto que nos dice que:

  • El producto de dos positivos es positivo. $$(+)\cdot (+)=+$$

Por ejemplo: $$(+3)\cdot (+3)=3\cdot 3=9=+9$$

  • El producto de un positivo con un negativo es negativo. $$(+)\cdot (-)=-$$

Por ejemplo: $$(+5)\cdot(-3)=5\cdot(-3)=-15$$

y también

$$(-9)\cdot (+2)=(-9)\cdot 2=-18$$

  • El producto de dos negativos es positivo. $$(-)\cdot (-) =+$$

Por ejemplo: $$(-2)\cdot(-2)=+4$$

Así, para hacer potencias de base negativa se deberán emplear estas reglas.

Lo ilustramos con los siguientes cálculos:

$$$\begin{array}{rcl}(-3)^3&=&(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=9\cdot (-3)=-27 \\\\ (-5)^2&=&(-5)\cdot (-5)=25 \\\\ (-1)^4&=&(-1)\cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)=1 \cdot (-1) \cdot (-1)=1 \cdot 1=1 \\\\ (-1)^3&=& (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1 \cdot (-1)=-1\end{array}$$$

En general, al elevar un número negativo a un exponente par se tiene un resultado positivo. Mientras que si se eleva a un exponente impar el resultado será negativo.

Cuando lo que es negativo no es la potencia sino el exponente, por ejemplo $$8^{-3}$$ lo que se debe considerar es lo siguiente:

$$\displaystyle 8^{-3}=\frac{1}{8^3}$$

que por lo tanto es el inverso de la potencia con exponente negativo.

Por ejemplo: $$$\displaystyle \begin{array}{rcl} 4^{-2}&=&\frac{1}{4^2} \\\\ (3^7)^{-2}&=&\frac{1}{(3^7)^2} \\\\ 6^{-8}\cdot 6^3&=& 6^3\cdot \frac{1}{6^8}=\frac{6^3}{6^8}\end{array}$$$

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