Ejes cartesianos y representación de puntos en el plano

Unos ejes cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten identificar los distintos puntos del plano.

Identificaremos un punto $$P$$ cualquiera mediante un par de números $$a$$ y $$b$$, y escribiremos $$P = (a, b)$$. Antes de ver cómo encontrar dichos $$a$$ y $$b$$, analicemos un poco más a fondo los ejes cartesianos.

Esta es una representación gráfica de unos ejes cartesianos:

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Observamos que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto $$0$$ de ambas.

Es destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:

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Los distintos ejes tienen nombres propios:

  • El eje horizontal es el eje de abscisas.
  • El eje vertical es el eje de ordenadas.

El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen (a veces sencillamente $$O$$), y tiene por coordenadas $$O = (0, 0)$$.

Una vez vista la notación habitual, ya estamos en condiciones de localizar puntos.

Una definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser:

Dados uno ejes cartesianos y un punto $$P$$ del plano, si $$a$$ y $$b$$ son el valor de la proyección del punto $$P$$ sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene $$P = (a, b)$$.

Una definición más constructiva podría ser la siguiente:

Las coordenadas $$a$$ y $$b$$ de un punto $$P$$ del plano, $$P = (a, b)$$, son los puntos de intersección de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto $$P$$ con los ejes de coordenadas. La primera coordenada $$a$$ es la intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada $$b$$ es la intersección con el eje vertical o de ordenadas.

Un ejemplo visual resultará mucho más clarificador.

De entrada, por situación inicial tenemos el punto y los ejes de coordenadas:

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Si trazamos paralelas des del punto $$P$$, tenemos:

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Y por tanto ya podemos decir que $$P = (2,-3)$$.

El proceso de representar puntos es exactamente el mismo pero a la inversa.

Supongamos que queremos representar el punto $$P = (-1, 2)$$ en unos ejes cartesianos, el procedimiento a seguir es el siguiente:

Marcamos en el eje de abscisas el punto $$-1$$ y en el eje de ordenadas el punto $$2$$:

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Trazamos paralelas a los ejes de ordenadas y abscisas por los puntos $$a$$ y $$b$$ respectivamente:

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La intersección de dichas paralelas es el punto $$P = (-1, 2)$$

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