Imagen de una función

No todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del dominio.

Dada la función $$f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$$ considerando la solución positiva de la raíz, únicamente tiene imágenes positivas o iguales a cero.

Por tanto solo son imagen por $$f$$ los números reales y que sean mayores a iguales que cero.

Se llama imagen de una función $$f$$ al conjunto de números reales que son imagen por $$f$$ de los elementos de su dominio. Se denota por $$Im (f)$$.

El recorrido de la función $$f(x)=\sqrt{x-3}$$ es $$Im (f) = [0, +\infty)$$

Calcular la imagen de las siguientes funciones:

  • $$f (x) = 2x - 1$$
  • $$f(x)=3x^2$$
  • $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$

  • La función puede tener por imagen cualquier número real. Por tanto, $$Im (f) =\displaystyle \mathbb{R}$$.
  • En este caso la función únicamente tiene imágenes positivas o $$0$$, ya que el cuadrado de un número no puede ser negativo. Por tanto $$Im (f) = [0, +\infty)$$
  • Por último, la función puede tomar cualquier valor real excepto el $$0$$, ya que $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$ no se anula en ningún $$x$$ perteneciente a $$\mathbb{R}$$.

Por tanto, $$Im (f) =\mathbb{R}-{0}$$.

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