Cuando tenemos una función continua de varias variables, - llamémosla $$f(x,y)$$- podemos realizar su integral en una región del plano - llamémosla $$R$$ - en lugar de en un intervalo $$[a,b]$$ con el que estamos acostumbrados a trabajar.
Escribiremos entonces , $$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA$$ donde $$R$$ es la región de integración y $$dA$$ es un "diferencial de área".
En este tipo de integrales, se cumplen las siguientes propiedades:
$$$\displaystyle \int_R K\cdot f(x,y) \ dA=K\cdot \int_R f(x,y) \ dA$$$ donde $$K$$ es una constante.
$$$\displaystyle \int_R f(x,y) \pm g(x,y) \ dA = \int_ R f(x,y) \ dA \pm \int_R g(x,y) \ dA$$$
Si $$R=R_1\cup R_2$$, es decir si $$R$$ es la unión disjunta de $$R_1$$ y $$R_2$$ $$$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA= \int_{R_1} f(x,y) \ dA + \int_{R_2} f(x,y) \ dA$$$
En el caso de que estemos integrando en un rectángulo del plano $$[a,b] \times [c,d]$$, podemos escribir la integral: $$$\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dxdy$$$
Hay que tener en cuenta que en este caso, $$[a,b]$$ es el intervalo de integración en el eje de las $$x$$, mientras que $$[c,d]$$ es el intervalo de integración en el eje de las $$y$$.
En este caso escribiremos $$$\displaystyle \int_c^d\Big( \int_a^b f(x,y) \ dx\Big)dy= \int_a^b\Big( \int_c^d f(x,y) \ dy\Big)dx$$$
Esta propiedad se llama el teorema de Fubini.
Para calcular estas integrales, realizaremos primero la integral de dentro, tomando la otra variable como una constante, y luego, con la primera variable eliminada, integramos respecto a la segunda.
$$$\displaystyle \int_0^1\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^y\sin x \ dxdy=\int_0^1e^y\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \ dxdy \int e^y\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \ dy=$$$ $$$\int_0^1 e^y \ dy= \Big[e^y \Big]_0^1e-1$$$