Un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es una EDO (equación diferencial ordinaria) del tipo: $$$x'(t)=A(t)\cdot x+ b(t)$$$ donde, $$A(t)$$ es una matriz, $$n \times n$$, de funciones en la variable $$t$$, $$b (t)$$ s un vector de dimensión $$n$$ de funciones en la variable $$t$$, y $$x$$ es un vector de tamaño $$n$$ que es la función que queremos encontrar.
Un ejemplo de sistema de EDO's lineal sería: $$$\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}'= \begin{pmatrix} 0 & \ln t \\ -e^t & 3 \cos t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} e^t \\ 3e^t \end{pmatrix}$$$
Un sistema lineal de dimensión $$n$$ tiene $$n$$ soluciones linealmente independientes y resolver el sistema significa encontrarlas todas. Toda solución es una combinación lineal de estas $$n$$ soluciones. Así, dado un vector de condiciones iniciales ($$n$$), determinaremos las $$n$$ constantes encontrando una única solución.
Cuando resolvemos un sistema lineal colocaremos los $$n$$ vectores solución (linealmente independientes) en las columnas de una matriz, la llamada matriz fundamental del sistema ($$n \times n$$). Por lo tanto, entenderemos por resolver el sistema encontrar una matriz fundamental. Multiplicando esta matriz por un vector de constantes arbitrarias tendremos la solución general.
Una propiedad importante de las matrices fundamentales es que, si multiplicamos una matriz fundamental por una matriz constante con determinante distinto de cero, el resultado es otra matriz fundamental (es importante que la matriz constante se multiplique por la derecha, si no, no es cierto).
Para resolver este tipo de ecuaciones, no existen métodos explícitos (sólo en dimensión $$1$$). Aún así, existen algunos casos particulares que sí sabremos resolver: Sistemas de EDO's homogéneos a coeficientes constantes, Sistemas de EDO's a coeficientes constantes no homogéneos, y Sistemas triangulares de ecuaciones diferenciales.
En este tema vamos a explicar los Sistemas de EDO's a coeficientes constantes no homogéneos.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema a resolver:$$$x'=A \cdot x+b(x)$$$
Un ejemplo de sistema seria: $$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}'=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} e^t \\ 3e^t\end{pmatrix}$$$
Para resolverlo, seguiremos los mismos pasos que en una ecuación lineal, es decir, encontraremos la solución general de la parte homogénea y después encontraremos una solución particular del sistema no homogéneo.
Consideremos el problema homogéneo: $$$x'=A \cdot x$$$ Siguiendo los pasos del nivel anterior, encontramos la matriz principal del sistema $$\phi_h(t)$$.
Sabemos que, entonces, la solución general de la parte homogénea es: $$$x_h(t)=\phi_h(t) \cdot C$$$ donde $$C$$ es un vector de constantes.
Ahora buscamos una solución particular de la forma $$$x_p(t)=\phi_h(t)\cdot u(t)$$$ Impongamos que sea solución: $$$\left .\begin{array}{r} x_p'=A\cdot x_p+b(t)=A\cdot \phi_h(t)\cdot u(t)+b(t) \\ x_p'= \phi_h(t) \cdot u(t)+\phi_h(t) \cdot u'(t)=A \cdot \phi_h(t)\cdot u(t)+\phi_h(t)\cdot u'(t) \end{array} \right\} \Rightarrow$$$ $$$ \phi_h(t) \cdot u'(t)=b(t) \Rightarrow u(t)=\int \Big(\phi_h(t)\Big) ^{-1} \cdot b(t) \cdot dt $$$
Así, la solución general es: $$$x(t)=x_h(t)+x_p(t)=\phi_h(t) \cdot C+ \phi_h(t) \cdot \int \Big(\phi_h(t)\Big) ^{-1} \cdot b(t) \cdot dt$$$
Retomemos el ejemplo inicial.
Tenemos, según nuestra notación que: $$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \ b(t)=\begin{pmatrix} e^t \\ 3e^t \end{pmatrix}$$$ En el nivel anterior ya hemos resuelto la parte homogénea de este problema; una matriz fundamental era: $$$\phi_h(t)=e^t\begin{pmatrix} t & 1 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix}$$$ Ahora buscamos una solución particular.
La teoría nos dice que busquemos una solución del tipo $$$\begin{pmatrix} x_p(t) \\ y_p(t) \end{pmatrix}= \phi_h (t) \cdot \begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}$$$ sabiendo que $$$\begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}=\int \phi_h^{-1} (t) \cdot b(t) \cdot dt$$$ Calculando primero $$$\displaystyle \phi_h^{-1}(t)=\frac{1}{-e^{2t}}\begin{pmatrix} e^t & -e^t \\ -e^t-t\cdot e^t & t \cdot e^t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -e^{-t} & e^{-t} \\ e^{-t}-t\cdot e^t & -te^{-t}\end{pmatrix} = e^{-t} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1+t & -t \end{pmatrix}$$$ tenemos: $$$\displaystyle \phi_h^{-1}(t)\cdot b(t)= e^{-t} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1+t & -t \end{pmatrix}\cdot e^t \begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1+t-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1-2t\end{pmatrix}$$$ Por lo tanto: $$$\displaystyle \begin{pmatrix}u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\int 2 \cdot dt \\ \int (1-2t)\cdot dt \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t \\ t-t^2\end{pmatrix}$$$ y, finalmente: $$$\begin{pmatrix}x_p(t) \\ y_p(t) \end{pmatrix}=\phi_h(t) \cdot \begin{pmatrix}u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}=e^t\begin{pmatrix} t & 1 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2t \\ t-t^2\end{pmatrix}=$$$ $$$= e^t \cdot \begin{pmatrix}2t^2+t-t^2 \\ 2t^2+2t+t-t^2 \end{pmatrix}=e^t \begin{pmatrix}t^2+t \\ t^2+3t \end{pmatrix} $$$
De esta forma, la solución general del sistema será la suma de la solución de la homogénea y la solución particular. $$$ \begin{pmatrix}y(t) \\ x(t) \end{pmatrix}= e^t\begin{pmatrix}t & 1 \\ t+1 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}+e^t\begin{pmatrix}t^2+t \\ t^2+3t\end{pmatrix}$$$