Para resolver una ecuación trigonométrica seguiremos los siguientes pasos:
1) Desarrollamos la expresiones, hasta obtener una sola expresión trigonométrica igualada a un número.
2) Obtendremos una igualdad de las siguientes: $$$\begin{array}{rcl}\sin u &=& a \\ \cos u &=& b \\ \tan u &=& c \end{array}$$$ donde $$u$$ es una función de $$x$$.
3) Resolvemos cada uno de los casos tomando el arco de las funciones correspondientes en los dos miembros:
$$\sin u=a \Rightarrow \arcsin (\sin u)=\arcsin a \Rightarrow $$
$$$u=\left\{\begin{array}{l} \arcsin a+ 2k\cdot \pi \\ (\pi-\arcsin a)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z} $$$
$$\cos u=b \Rightarrow \arccos (\cos u)=\arccos b \Rightarrow$$
$$$u=\left\{\begin{array}{l} \arccos b+ 2k\cdot \pi \\ (2\pi-\arccos b)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$$
$$\tan u = c \Rightarrow \arctan (\tan u)=\arctan c \Rightarrow u=\arctan c+ \pi \cdot k$$
4) Una vez encontrada $$u$$, despejamos la $$x$$.
Vamos a resolver la siguiente ecuación trigonométrica: $$$\sin ^2x- \cos ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}$$$
Primero de todo aislamos de la ecuación el $$\sin^2x$$: $$$\sin ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}+\cos ^2 x$$$
A partir de la relación $$$\sin^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=1-\sin ^2x$$$ Sustituyendo en nuestra ecuación: $$$\displaystyle sin^2x=\frac{1}{2}+\cos^2x=\frac{1}{2}+1-\sin^2x=\frac{3}{2}-sin^2x \Rightarrow 2\sin^2x=\frac{3}{2} \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \sin^2x=\frac{3}{4} \Rightarrow \sin x=\pm \sqrt {\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$$ Ahora ya hemos conseguido obtener una razón trigonométrica igualada a un número.
Aplicamos ahora la relación 3.i en los dos posibles casos:
Caso (a): $$$\sin x=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$$
Caso (b): $$$\sin x=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi+\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$$ Así pues obtenemos la siguiente solución: $$$x=\left\{\begin{array}{l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k \\ -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$$