Dado el triángulo rectángulo $$ABC$$, considérese la altura del triángulo respecto el ángulo recto. Sean $$x$$, $$y$$ los ángulos correspondientes a la partición del ángulo mediante la altura, entonces calcular cuánto valen los siguientes valores: $$\sin(2x)$$, $$\tan (x-y)$$ y $$\cos (2y)$$.
Desarrollo:
Los ángulos $$x$$ y $$y$$ son complementarios. Por lo tanto, sabemos que $$$ \sin(x+y)= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=1$$$
Por otro lado, si realizamos la figura observamos que el triangulo ABC $$ABC$$ es la unión de dos triángulos más pequeñosés $$ABD$$ y $$ADC$$. Así, pues, teniendo en cuenta que la suma de todos los ángulos de un triángulo tiene que ser $$180^\circ$$, obtenemos que:
- $$180=90+30+x \Rightarrow x=180-90-30=60$$
- $$180=90+60+y \Rightarrow y=180-90-60=30$$
Entonces, $$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)= 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$$
$$$ \tan (x-y)= \dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}= \dfrac{\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} {1+\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$$
$$$ \cos(2y)=\cos^2(y)-\sin^2(y)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} $$$
Solución:
$$\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\dfrac{1}{2} $$