El rango de una matriz es el número de líneas linealmente independientes de dicha matriz.
Una fila es linealmente independiente de las otras cuando no se puede establecer a partir de una combinación lineal de las otras. Si, por el contrario, podemos encontrar una fila a partir de una combinación lineal de las otras entonces diremos que esa fila es linealmente dependiente. En ese caso dicha fila deberá descartarse para el cálculo del rango de la matriz.
Solamente según la definición, pues, véanse los casos en que una fila puede descartarse:
- Todos los elementos son nulos.
- Hay dos líneas iguales.
- Una línea es proporcional a otra.
- Una línea es combinación lineal de otra u otras.
Sea la matriz $$A$$:
$$$A=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 6 & -2 & 4 \end{array} \right)$$$
Según 1. podemos descartar la fila $$4$$, puesto que todos sus elementos son nulos.
Según 2. podemos descartar la fila $$3$$, puesto que es igual que la fila $$1$$.
Según 3. podemos descartar la fila $$5$$, puesto que es proporcional a la fila $$1$$.
Por lo tanto, el rango de $$A$$ es $$2$$. Se escribe como sigue: rang$$(A)=2$$ o $$r(A)=2$$.
Los tres casos presentados (1, 2 y 3) son realmente fáciles. El cuarto punto, sin embargo, no siempre es inmediato.
Se propone a continuación un pequeño ejercicio para familiarizarse con el concepto de combinación lineal. Se trata de saber identificar combinaciones lineales o de construirlas.
$$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
¿Hay alguna línea eliminable?
$$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 5 \end{array} \right)$$$
¿Y ahora?
Efectivamente en ambos casos la tercera fila es combinación lineal de las otras dos.
En el primero,
fila$$3$$=fila$$1$$+fila$$2$$,
mientras que en el segundo
fila$$3$$=$$2\cdot$$fila$$1+5\cdot$$fila$$2$$.
En ambos casos, pues rang$$(A)=2$$.
En general se utilizará el método de Gauss para retocar tanto como sea necesario una matriz, de manera que sea más o menos inmediato aplicar las cuatro normas.