Propiedades de los determinantes

Los determinantes tienes ciertas propiedades que deben conocerse. Dichas propiedades son de gran ayuda para convertir el cálculo de determinantes en algo un poco menos lento y pesado.

Véanse, pues, algunas de estas propiedades:

  1. El determinante de una matriz y de su traspuesta (La matriz traspuesta resulta de girar las filas de una matriz convirtiéndolas en columnas) son iguales.

\left| A \right| = \left| A^t \right|
  1. El determinante de una matriz es nulo, \left| A \right|=0 cuando:

    1. La matriz posee dos líneas iguales. Es fácil demostrarlo como ejercicio para un caso 3 \times 3 por ejemplo:

    \begin{matrix} \left| \begin {matrix}a & b & c\\ d & e & f\\ a & b & c \end{matrix}\right| \\ \end{matrix}= a \cdot e \cdot c+ d \cdot b \cdot c + a \cdot b \cdot f- c \cdot e \cdot a - f \cdot b \cdot a - c \cdot b \cdot d =0
    1. Todos los elementos de una línea son nulos.
    2. Los elementos de una línea son combinación lineal de otras líneas. Esto es:

    \left| \begin{matrix}2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right|

    La fila 3 es combinación lineal de las otras dos (f_3=f_1+f_2 ). Sin calcular nada se sabe que el determinante será nulo.

  2. Si cambiamos dos líneas paralelas el determinante cambia de signo:

\left| \begin{matrix}0 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=-\left| \begin{matrix}1 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{matrix}\right|
  1. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número real el valor del determinante no varía.

\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right| \rightarrow C_3= 2\cdot C_1+C_3 \rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 8 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|
  1. Multiplicar un determinante por un número real es lo mismo que multiplicar sólo una de sus líneas por ese número real.
  2. El determinante de un producto es igual al producto de determinantes.

\left| A \cdot B \right|= \left|A\right| \cdot \left| B \right|

Sabiendo estas propiedades el cálculo de determinantes puede agilizarse. Teniendo en cuenta la propiedad 4 podemos ir modificando nuestro determinante mediante combinaciones lineales de tal forma que pueda conseguir el mayor número de 0 o 1 posibles, lo cual aligeraría mucho los cálculos.

\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 & 3 \end{matrix}\right| \rightarrow \begin{array}{c} f_1 \rightarrow f_1 \\ f_2 \rightarrow f_2-f_1 \\ f_3 \rightarrow f_3 -2f_1 \\f_4 \rightarrow f_4-f_1 \end{array} \rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -6 & -9 \\ 0 & 2 & -1 &-3\end{matrix}\right|

Y como la primera columna es nula excepto el primer elemento solamente deberá calcularse el determinante \left| \begin{matrix}0 & 3 & 1 \\ -2 & -6 & -9 \\ 2 & -1 & -3\end{matrix}\right| puesto que las demás contribuciones serían nulas.