¿A qué hora entre las $$6$$ y las $$7$$ se superpondrán las agujas de un reloj?
Desarrollo:
Cuando son las $$6$$ en punto, la aguja horaria está en el $$6$$ (que corresponden a $$45$$ minutos) y el minutero está en el $$12$$ (que corresponde a $$0$$ minutos).
Consideramos $$x$$ el arco que recorre la aguja horaria. Pensemos entonces, qué arco recorrerá el minutero.
Éste se encuentra en $$0$$ minutos por lo que deberá recorrer $$45$$ minutos más lo que haya recorrido la aguja horaria que es lo que hemos llamado $$x$$. Así pues, debe recorrer $$45+x$$ para alcanzar la aguja horaria.
Como sabemos que siempre es $$12$$ veces lo que recorre la horaria, podemos plantear la siguiente ecuación:
$$45+x=12x$$
Despejando la incógnita, encontramos que:
$$x=\dfrac{45}{11} \ \mbox{minutos}.$$
Por lo tanto, se cruzarán a las $$6$$h $$45+x$$ minutos.
Veamos cuantos minutos y segundos corresponden a $$x=\dfrac{45}{11} \ \mbox{minutos}$$ para escribirlo de forma más elegante.
Sabemos que
$$\dfrac{45}{11} \ \mbox{minutos}=\dfrac{44}{11}+\dfrac{1}{11}=4 \ \mbox{minutos} + \dfrac{1}{11} \ \mbox{minutos} $$
donde:
$$\dfrac{1}{11} \ \mbox{minutos}=\dfrac{1}{11} \ \mbox{minutos} \cdot \dfrac{60 \ \mbox{segundos}}{1 \ \mbox{minuto}} = \dfrac{60}{11} \ \mbox{segundos} = 5 \ \mbox{segundos} $$
Por lo tanto, las agujas se cruzarán cuando las agujas marquen $$6h \ 45+4' \ 5''$$, es decir a las $$6h \ 49' \ 5''$$.
Solución:
$$6h \ 49' \ 5''$$.