Eleva a la quinta potencia el número complejo $$1+i$$ pasado a su forma trigonométrica.
Desarrollo:
Primero pasamos $$1+i$$ a su forma trigonométrica:
Calculamos su módulo: $$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$
Y ahora su argumento: $$\alpha=\arctan\big( \dfrac{1}{1}\big) \Rightarrow \alpha=45^\circ$$
Por lo que lo podemos escribir como: $$$1+i=\sqrt{2}\cdot [\cos(45^\circ)+i\cdot\sin(45^\circ)] =\sqrt{2}\cdot e^{i45^\circ}$$$ Calculemos ahora la 5 potencia de este número: $$$\displaystyle \begin{array}{rl} (1+i)^5=&\big( \sqrt{2}\cdot e^{i45^\circ}\big)^5 = (\sqrt{2})^5 \cdot (e^{i45^\circ})^5 \\ =& 4\sqrt{2} \cdot e^{i225^\circ}= 4\sqrt{2} \cdot [\cos(225^\circ)+i\cdot\sin(225^\circ)] \end{array}$$$
Solución:
$$(1+i)^5=4\sqrt{2} \cdot [\cos(225^\circ)+i\cdot\sin(225^\circ)]$$.