Inecuaciones con dos variables

Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones y dar la región del plano donde se verifican:

  1. $$y-3x > 2$$

  2. $$2(x-y)-3(y+2) < 2x+1$$

  3. $$\dfrac{-x+4y}{3}-x \geqslant 2y+x$$
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Desarrollo:

Vamos a resolver las tres inecuaciones. Daremos la expresión de la inecuación de la forma $$y < ax+b$$ y diremos que puntos del plano tomamos.

  1. $$y-3x > 2 \Rightarrow y > 3x -2$$. La región solución está por encima de la recta (tenemos una desigualdad del tipo $$>$$).

  2. $$2(x-y)-3(y+2) < 2x+1 \Rightarrow 2x-2y-3y-6 < 2x+1 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2x-2x-6-1 < 5y \Rightarrow y > -\dfrac{7}{5}$$. La región solución está por encima de la recta.

  3. $$\dfrac{-x+4y}{3}-x\geqslant 2y+x \Rightarrow \dfrac{-x+4y-3x}{3} \geqslant 2y+x \Rightarrow $$ $$\Rightarrow -x+4y-3x \geqslant 6y+3x \Rightarrow -x-3x-3x \geqslant 6y-4y \Rightarrow y \leqslant \dfrac{-7}{2}x$$. La región solución está por debajo de la recta, tomando también los puntos de ésta.

Solución:

  1. $$y > 3x -2 \Rightarrow $$ Puntos por encima de la recta $$y-3x = 2$$ sin tomar los puntos de ésta.

  2. $$y > -\dfrac{7}{5} \Rightarrow $$ Puntos por encima de la recta $$y = -\dfrac{7}{5}$$ sin tomar los puntos de ésta.

  3. $$y \leqslant \dfrac{-7}{2}x \Rightarrow $$ Puntos por debajo de la recta $$y = \dfrac{-7}{2}x$$ tomando los puntos de ésta.
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