Supongamos que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=1$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$$, entonces tenemos que $$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)^{g(x)}}=1^{\pm \infty}$$$ y tenemos de nuevo una indeterminación.
El problema básico de esta indeterminación es saber por dónde tiende $$f(x)$$ a $$1$$ (por la derecha o por la izquierda) y qué función tiende más rápido a su límite.
Para resolver este límite usaremos alguna de las siguientes dos fórmulas, dependiendo de cuál convenga más. Éstas nos convierten la indeterminación uno elevado a infinito a cero por infinito.
Se usará pues alguna de las siguientes fórmulas: Si $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=1$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$$ entonces,
- $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)^{g(x)}}=e^{\Big(\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(f(x)-1)\cdot g(X)}\Big)}$$
- $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)^{g(x)}}=e^{\Big(\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x) \cdot \ln f(x)}\Big)}$$
Veamos algunos ejemplos:
1) $$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{1}{1+x^2}\Big)^2x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{1}{1+x^2}-1\Big) \cdot 2x}}=$$$
$$$= e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1+x^2}{1+x^2}\Big) \cdot 2x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x^2}{1+x^2} \cdot 2x}}=$$$
$$$=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-2x^3}{1+x^2}}}=e^{-\infty}=0$$$
2) $$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{1}{1+x^2}\Big)^2x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x \cdot \Big( \frac{1}{1+x^2} \Big)}}= $$$
$$$=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{-2 \cdot \ln(1+x^2)}}=e^{-\infty}=0$$$
3) $$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big( 1 - \frac{2}{x^2}\Big)^{x^2}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big( 1 - \frac{2}{x^2} - 1\Big) \cdot x^2}}=$$$
$$$=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big( - \frac{2x^2}{x^2} \Big)}}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$$$
4) $$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(1+\frac{1}{2^x}\Big)^x}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(1+\frac{1}{2^x}-1\Big) \cdot x}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x}{2^x}}}=e^0=1$$$