Ejercicios de Imagen de una función

Dadas las funciones,

1) $$f(x)=x^2-2$$

2) $$f(x)=\sqrt{x+4}$$

3) $$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$$

Determinar la imagen de cada una de ellas.

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

1) Si calculamos el vértice de la parábola:

v:$$\Big( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \Big)=(0,-2) $$

y por ser $$a = 1> 0$$, la parábola se abre hacia arriba y por tanto se tiene $$Im (f) = [-2, +\infty)$$

2) Por ser una raíz sabemos que $$Im (f) = [0, +\infty)$$ (ya que tomamos la solución positiva de la raíz).

3) Podremos obtener cualquier número real excepto el cero. Por tanto, $$Im (f) = \mathbb{R} - \lbrace0\rbrace$$

Solución:

1) $$f(x)=x^2-2$$

$$Im (f) = [-2, +\infty)$$

2) $$f(x)=\sqrt{x+4}$$

$$Im (f) = [0, +\infty)$$

3) $$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$$

$$Im (f) = \mathbb{R} - \lbrace0\rbrace$$

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