Factorial y números combinatorios

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar métodos para contar elementos de un conjunto o la forma de agrupar elementos de un conjunto.

Por ejemplo,

Si hay un grupo de $$5$$ chicos, Alejandro, Bernardo, Carlos, David y Ernesto, de los cuales se deben elegir $$2$$ para realizar una tarea determinada. Ahora nos preguntamos: ¿cuántas maneras tenemos para escoger estos dos chicos?

Una elección podría ser Alejandro y Carlos, o también David y Bernardo. Pero si se tuvieran que probar todas las posibilidades a mano, ¡se tardaría mucho tiempo! No obstante, con ayuda de la combinatoria, como se verá más adelante, es muy rápido calcularlo: resulta que hay $$10$$ posibilidades diferentes).

Éstos son dos conceptos básicos en el análisi combinatorio, es decir, el factorial y los números combinatorios.

Llamaremos al resultado de multiplicar todos los números desde el $$1$$ hasta $$n$$, el factorial del número $$n$$. Para escribirlo se hace mediante el símbolo $$n!$$. Es decir: $$$n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$$$

$$1!=1 \\ 3!=3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ 4!= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1= 24$$

Por definición, se dice que el factorial de $$0$$ es $$1$$, es decir: $$0!=1$$

Por otro lado, llamamos a lo siguiente el número combinatorio $$n$$ sobre $$k$$ :$$$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$$

Por ejemplo, el número combinatorio $$4$$ sobre $$3$$ es: $$$ \displaystyle \binom{4}{2}=\frac{4!}{2! (4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=\frac{4 \cdot 3 \cdot \not{2} \cdot \not{1}}{\not{2} \cdot \not{1} \cdot 2 \cdot 1}=3 \cdot 2 =6$$$

Como en el ejemplo, para facilitar los cálculos es muy recomendable simplificar las fracciones antes que nada, porque así se evitan muchos cálculos.