La esperanza matemática $$E(X)$$ es la suma de la probabilidad de cada posible suceso multiplicado por la frecuencia de dicho proceso, es decir si tenemos una variable cuantitativa discreta $$X$$ con $$n$$ posibles sucesos $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$ y probabilidades $$P(X=x_i)=P_i$$ la esperanza matemática es:
$$$E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot P(X=x_i)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+$$$ $$$+ \ldots +x_n\cdot P(X=x_n)$$$
Cuatro personas apuestan $$1€$$ a que saldrá un número en un dado, cada uno a un número diferente. Entonces por cada euro apostado si se gana recibes $$3$$ euros más. ¿Saldrá a cuenta apostar en este juego?
La probabilidad de perder $$1€$$ es $$\displaystyle \frac{5}{6}$$, ya que perderemos si no sale el número elegido.
En cambio la probabilidad de ganar $$3$$ $$€$$ es de $$\displaystyle \frac{1}{6}$$.
Así la esperanza es: $$$E(X)=\Big(-1 \cdot \displaystyle \frac{5}{6}\Big)+\Big(3 \cdot \frac{1}{6}\Big)=\frac{-5}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=\frac{-1}{3}\simeq-0.33$$$
Por tanto por cada euro apostado podemos perder 0.33 céntimos. Se dice que este es un juego de esperanza negativa.
Decimos que un juego es equitativo cuando la esperanza de beneficio es $$0$$.
Si tenemos un juego con esperanza de beneficio positiva se dice que es un juego de esperanza positiva.