Las ecuaciones diofánticas cuadráticas son ecuaciones del tipo: $$ax^2+bxy+cy^2=d$$ donde $$a$$, $$b$$, $$c$$ y $$d$$ son enteros, y se pide que las soluciones $$x$$ e $$y$$ sean números enteros.
No obstante, aquí sólo se van a tratar ecuaciones diofánticas cuadráticas del tipo: $$x^2-y^2=n$$ con $$n$$ cualquier número entero.
En este caso, tal y como antes, puede pasar que la ecuación no tenga solución, o bien que tenga más de una solución. No obstante, la condición para que esta ecuación diofántica tenga solución es más sencilla: Si $$n$$ se puede escribir como producto de dos números que sean o bien ambos pares, o bien impares, entonces habrá solución.
Si $$n = 4$$ tenemos que $$n = 2 \cdot 2$$, y ambos son pares, por lo tanto la ecuación $$x^2-y^2=4$$ tiene solución.
Si $$n = 15$$, se tiene que $$n = 3 \cdot 5$$, $$3$$ y $$5$$ son ambos impares, por lo tanto la ecuación $$x^2-y^2=15$$ tiene solución.
Si $$n = 6$$, se tiene que los divisores de $$6$$ son $$1, 2, 3$$ y $$6$$.
Además, para que el resultado de multiplicarlos de $$6$$ se tiene que hacer o bien $$1\cdot 6$$, o bien $$2 \cdot 3$$, y no existe ninguna otra forma de escribir $$6$$ como producto de $$2$$ números enteros (positivos).
En ninguno de los 2 casos se cumple que ambos números sean pares o impares, así que la ecuación $$x^2-y^2=6$$ no tiene solución.
Supongamos ahora que $$n = a \cdot b$$, con $$a$$ y $$b$$ pares los dos o impares los dos. Entonces una solución viene dada por: $$$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$$
Por ejemplo, en el caso que se ha visto antes de $$n = 4 = 2 \cdot 2$$, se tiene que $$a= 2$$ y $$b = 2$$, por lo tanto una solución es $$$\displaystyle \begin{array} {c}x=\frac{2+2}{2}=2 & y=\frac{2-2}{2}=0\end{array}$$$
Observemos que en caso que exista una solución, esta puede no ser única, ya que es posible que $$n$$ admita otra descomposición como producto de dos números pares o impares.
Por ejemplo, si $$n = 16$$, se tiene que $$n = 2\cdot8$$ (los 2 son pares) pero también $$n = 4\cdot4$$ (y también los 2 son pares), y cada una de estas dos representaciones de $$n$$ da una solución diferente de la ecuación diofántica.